左正則表現(群上の関数ver)

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定義 ( G 不変〜その2 )

G が X に作用しているとする。

F を X 上の K 値関数からなる関数空間とする。

任意の f∈F、g∈G に対し、gf∈F であるとする。

このとき、「 F は G 不変である 」 という。

S19

G が X に作用しているとする。

F を X 上の K 値関数からなる関数空間とする。

F は G 不変であるとする。

T(g)f:X→K を T(g)f(x)=f(g−1x)で定義する。(★)

このとき、T は G の F による表現である。

(★)について補足

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

f:X→K を関数とする。

いま、g∈G は x∈X に作用して gx∈X となる。

点 gx∈X に値 f(x) を対応させた関数を T(g)f と表す。

つまり、T(g)f(gx)=f(x)である。

つまり、T(g)f(y)=f(g−1y)である。

これは新しい概念ではない。

例えば、高校数学で知られているように、関数 f(x) を +a 平行移動すると f(−a+x) となる。

証明

明らかに、T(1)f=f である。(★1)

いま、T(g)f(x)=f((g−1x)=f((g−1−1)x)=f(g−1・(g−1x)である。

いま、T(g)(T(g)f)(x)=f(g−1・(g−1・x))である。(順番に注意)

よって、T(g)f=T(g)T(g)f である。(★2)

(★1)、(★2)より、T は G の F による表現である。

定義 ( 左正則表現 )

G を有限群とする。

G から G 自身への作用を考える。

K(G) を G 上の K 値関数全体からなる関数空間とする。

L(g)f:X→K(G) を L(g)f(x)=f(g−1x) で定義する。

いま、L は G の K(G) による表現である。(※S19)

このとき、L を 『 G の左正則表現 』 という。