商空間

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参考 ( 部分空間の復習 )

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

k∈K とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) W は空ではない。

(2) v、w∈W ⇒ v+w∈W

(3) v∈W ⇒ kv∈W

これは既知とする。

とくに、(2)より、v∈W ⇒ −v∈W である。

S4 ( 補題 )

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

v、w∈V に対し、v−w∈W であることを v〜w と表す。

このとき、〜 は同値関係である。

証明

よく知られているように、0∈W である。

よって、v−v=0∈W である。

つまり、v〜v である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v〜w であるとする。

いま、v−w∈W である。

よって、w−v=−(v−w)∈W である。

つまり、w〜v である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v〜w かつ w〜u であるとする。

いま、v−w∈W、w−u∈W である。

よって、v−u=(v−w)+(w−u)∈W である。

つまり、v〜u である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、〜 は同値関係である。

定義 ( 商空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

v、w∈V に対し、v−w∈W であることを v〜w と表す。

既に示したように、〜 は同値関係である。(※S4)

つまり、商集合 V/〜 を考えることができる。

ここで、商集合 V/〜 を V/W と表す。

このとき、V/W を 『 V の W による商空間 』 という。

以前に決めたように、〜による同値類を [・] と表す。

つまり、V/W={ [v]|v∈V } である。

S5 ( 補題 )

V を K 上のベクトル空間とする。

v、w、x、y∈V とおく。

k∈K とおく。

[v]=[x] とする。

[w]=[y] とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) [v+w]=[x+y]

(2) [kv]=k[x]

(1)の証明

仮定より、v−x、w−y∈W である。

よって、(v+w)−(x+y)=(v−x)+(w−y)∈W である。

つまり、[v+w]=[x+y] である。

(2)の証明

仮定より、v−x∈W である。

よって、kv−kx=k(v−x)∈W である。

つまり、[kv]=[kx] である。

S6 ( 商空間は自然にベクトル空間となる )

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

次のように、V/W 上の和とスカラー倍を定義する。

(*1) [v]+[w]=[v+w]

(*2) k[v]=[kv]

さらに、V/W の零ベクトルを次のように定義する。

(*3) 0V/W=[0

このとき、V/W は K 上のベクトル空間である。

補足

そもそも、(*1)や(*2)のように演算を定義できることを確認する必要がある。

ここで、

「 演算を定義できることは当然なのでは? 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、ここは慎重になる必要がある。

そもそも、[v]、[w]∈V/W の v、w は代表元である。

つまり、他に x∈V が存在して、[v]=[x] となる。

あるいは、y∈V が存在して、[w]=[y] となる。

では、[v+w] と [x+y] は等しいのだろうか?

もし異なるとすれば、(*1)の定義は間違いである。

実際、[v+w]=[v]+[w]=[x]+[y]=[x+y] となって矛盾する。

しかし、問題はない。

なぜなら、既に示したように、[v]=[x] かつ [w]=[y] ⇒ [v+w]=[x+y] である。(※S5)

つまり、(*1)は well-defined である。

同様に、(*2)は well-defined である。

証明

既に示したように、(*1)と(*2)は well-defined である。(※S5)

後は、ベクトル空間の公理が成り立つことを示せばよい。

証明はいずれも同様であるから、ここでは結合則のみを示そう。

[v]、[w]、[u]∈V/W とおく。

いま、([v]+[w])+[u]=[v+w]+[u]=[(v+w)+u] である。

また、[v]+([w]+[u])=[v]+[w+u]=[v+(w+u)] である。

一方、(v+w)+u=v+(w+u)である。(※ベクトル空間の公理)

よって、([v]+[w])+[u]=[v]+([w]+[u]) である。

S7

V を K 上のベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) [v] は V/W の零ベクトルである。

(2) v∈W

証明

(1)を仮定する。

いま、[v]=[0] である。

つまり、v=v−0∈W である。

(2)を仮定する。

いま、v−0=v∈W である。

よって、[v]=[0] である。

つまり、[v] は V/W の零ベクトルである。