商集合と合同式

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定義 ( 直和分割 )

X を集合とする。

を X の部分集合系とする。

次が成り立つとする。

(1) ∪G∈G=X

(2) 任意の G、G’∈ に対し、「 G≠G’ ⇒ G∩G’=φ 」 である。

(3) 任意の G∈ に対し、G≠φである。

このとき、 を 『 X の直和分割 』 という。

定義 ( 2項関係 )

A を集合とする。

R を直積 A×A の部分集合とする。

(x、y)∈R であるとき、x〜y と表す。

〜 を 『 A における2項関係 』 という。

R を 『 A における2項関係 』 と呼ぶこともある。

例えば、R={ (x、y)∈|x<y } とおく。

むろん、R⊂ である。

いま、(x、y)∈R と x<y は同じ意味をもつ。

つまり、『 < 』 は2項関係である。

『 集合 A に2項関係を指定すること 』 と 『 A×A の部分集合を指定すること 』 は同じである。

むろん、2項関係を意味する R と、実数全体を意味する は区別する。

2項関係を意味する R は英語の Relation に由来する。

定義 ( 同値関係 )

X を集合とする。

〜 を X の2項関係とする。

任意の x、y、z∈X に対し、次が成り立つする。

(1) x〜x

(2) x〜y ⇒ y〜x

(3) x〜y、y〜z ⇒ x〜z

このとき、関係 〜 を 『 X における同値関係 』 という。

(1)を反射律、(2)を対称律、(3)を推移律という。

ここで、

「 条件(1)は、(2)と(3)から導けるから、(1)は不要なのでは?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、x〜y とすると、条件(2)より、y〜x である。

そして、条件(3)より、x〜x となるように思える。

しかし、そもそも、y をとることができるという保証がない。

よって、条件(1)は必要である。

参考

同値関係は数学の中で最も重要な概念の1つである。

数学の目的は、数学的対象を分類することであるともいえる。

その分類の基準となるのが同値関係である。

定義 ( 同値類 )

X を集合とする。

〜 を X の同値関係とする。

a∈X とおく。

[a]={ x∈X|x〜a } と定義する。

このとき、[a] を 『 a の同値類 』 という。

また、a を 『 [a]の代表元 』 という。

S2 ( 同値関係は集合を直和分割する )

X を集合とする。

〜 を X の同値関係とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の a∈X に対し、a∈[a] である。

(2) a と b は同値である ⇒ [a]=[b]

(3) a と b は同値でない ⇒ [a]∩[b]=φ

補足

つまり、同値関係 〜 は集合 X を直和分割する。

実際、(1)より、任意の x∈X は何らかの同値類に属している。

また、(2)より、各同値類は交わらない。

(1) の証明

反射律より、a〜a であるから、a∈[a] である。

(2) の証明

a と b は同値であるとする。

x∈[a] とおく。

いま、x〜a である。

推移律より、x〜a、a〜b ⇒ x〜b である。

よって、x∈[b] である。

以上により、[a]⊂[b] である。

同様にして、[b]⊂[a] である。

よって、[a]=[b] である。

(3) の証明

a と b は同値でないとする。

[a]∩[b]≠φと仮定する。(背理法)

いま、ある x∈[a]∩[b] が存在して、x〜a、x〜b となる。

よって、a〜b である。

これは矛盾である。

よって、[a]∩[b]=φである。

定義 ( 商集合 )

X を集合とする。

〜 を X における同値関係とする。

いま、X は 〜 の同値類によって直和分割される。(※S2)

X の 〜 による同値類全体を X/〜 と表す。

つまり、X/〜={ [x]|x∈X } である。

これを 『 〜による X の商集合 』 という。

定義 ( 合同式 )

a−b が n で割り切れるとする。

これを a≡b ( mod n ) と表す。

このとき、「 a と b は n を法として合同である 」 という。

S3

n を1より大きい整数とする。

このとき、任意の整数 a、b、c に対して次が成り立つ。

(1) a≡a ( mod n )

(2) a≡b ( mod n ) ⇒ b≡a ( mod n )

(3) a≡b ( mod n )、b≡c ( mod n ) ⇒ a≡c ( mod n )

つまり、合同関係は同値関係である。

(1)の証明

明らかに、a−a=0 である。

よって、a−a=0・n である。

よって、a≡a ( mod n )である。

(2)の証明

a≡b ( mod n ) であるとする。

いま、ある k∈ が存在して、a−b=kn となる。

よって、b−a=(−k)n である。

よって、b≡a ( mod n )である。

(3)の証明

a≡b ( mod n ) かつ b≡c ( mod n )であるとする。

いま、ある k が存在して、a−b=kn となる。

また、ある k が存在して、b−c=kn となる。

よって、a−c=(k+k)n である。

よって、a≡c ( mod n ) である。

参考

S3 の意味での a∈ の同値類を [a] と表す。

つまり、[a]={ x∈| x≡a ( mod n ) } である。

よく知られているように、同値類は集合を直和分割する。(※S2)

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n=2 とすると、

[1]={・・・、1、3、5、・・・}

[2]={・・・、2、4、6、・・・}

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n=3 とすると、

[1]={・・・、1、4、7、・・・}

[2]={・・・、2、5、8、・・・}

[3]={・・・、3、6、9、・・・}

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このように、各整数を余すことなく、重複することなく、綺麗に分類できる。

同値類で分類することによって、数学的対象を見通しよくすることができる。

なので、数学において同値関係は重要である。