指数と共役類(第2直交関係)

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参考

G を有限群とする。

このとき、次は等しい。

(1) 有限群 G の相異なる既約指標の個数

(2) Gの共役類の個数

これを示すことが、このページの目標である。

表現論の書物も、(1)=(2)を示すことが1つの要になる。

注意

このページではつねに次の状況を引き継ぐものとする。

G を有限群とする。

χ、・・・、χ を G の相異なる既約指標全体とする。

={e}、K、・・・、K を G の共役類全体とする。

|Kα|=hα とおく。( つまり、Kα の元の個数を hα とするという意味 )

=e、a、・・・、a を各共役類の代表元とする。

注意

α={ x、・・・、xα } とする。

このとき、Kα=x+・・・+xα と表す。

注意

α=x+・・・+xα と表す。

β=y+・・・+yβ と表す。

このとき、次のように定義する。

注意

α の元の逆元全体も1つの共役類となる。

そこで、以下、これを Kα−1 と表す。

証明

x∈Kα とおく。

α の任意の元は a−1xa ( a∈G ) の形で表される。

その逆元は(a−1xa)−1=a−1−1a である。

よって、(a−1xa)−1は x−1 と共役である。

C15

ある非負整数 cαβγ が存在して、次のように表される。

証明

z∈Kγ とおく。

z=x となる組(x、y)が c 個存在するとする。

γ の任意の元は a−1za ( a∈G ) の形で表される。

また、a−1za=(a−1a)・(a−1a)である。

よって、a−1za=x’y’を満たす組(x’、y’)も c 個だけ存在する。

そこで、これを cαβγ とおけばよい。

C16

C15 の状況を引き継ぐ。

次が成り立つ。



( K={e}であることに注意 )

(1)の証明

β=Kα−1 とする。

e=x となる組は(x、x−1) (x∈Kα)である。

よって、このような組は hα個である。

よって、cαβ1=hα である。

(2)の証明

β≠Kα−1 とする。

いま、e=x となる組(x、y)は存在しない。

よって、cαβ1=0 である。

C17

φ:G→GL)を p 次の表現とする。

( GL)は の元を成分とする正則行列 )

χをφの指標とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

次のようにおく。



C15 より、



が Kα全体を動くと、a−1a も Kα全体を動く。

よって、



以上により、任意の a∈G に対し、φ(a)φ(Kα)=φ(Kα)φ(a)である。

よって、あるλα が存在して、φ(Kα)=λαI ( I は単位行列 ) となる。(※シューアの補題)

χをφの指標とする。

いま、hαχ(aα)=pλαである。

( Kαの元はすべて互いに共役だから同じ値χ(aα)が hα個だけ並んでいる )

上2式を用いて、(*)を式変形すると、



よって、

C18 ( 指標の第2直交関係 )

次が成り立つ。

証明

χ の次数を q とする。

C17 より、



i について両辺の和をとると、次が成り立つ。(※C14(2)、C16)



( K={e}だから h=1であること、また、仮定より、a=e であることに注意 )

よって、

C19

A を(m、n)行列とする。

B を(n、m)行列とする。

det(AB)≠0 とする。

このとき、m≦n である。

証明

m>n と仮定する。(背理法)

正方行列 A と B を次のようにおく。



このとき、0=detAdetB=detA=detAB である。

これは仮定に反する。

よって、m≦n である。

C20 ( 重要な結論 )

G を有限群とする。

このとき、次は等しい。

(1) G の相異なる既約指標の個数

(2) G の共役類の個数

証明

第1直交関係より、



上式の右辺の行列式は 0 ではない。

よって、s≦t である。(※C19)

一方、第2直交関係より、



上式の右辺の行列式は 0 ではない。

よって、t≦s である。(※C19)

よって、s=t である。