指標、類関数

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注意

以下、有限群 G の 上の表現を考える。

定義 ( 指標 )

φ:G→GL(V)を表現とする。

B を V の基底とする。

A(a)を B に関するφ(a)の表現行列とする。

χ(a)=tr(A(a))を 『φの指標 』 という。

とくに、φが既約ならば 『 既約指標 』 という。

また、V の次元を 『 指標の次数 』 という。

定義 ( 類関数 )

χを G 上の関数とする。

G の共役な元に対して、χは同じ値をとるとする。

このとき、χを 『 類関数 』 という。

定義 ( 共役 )

x、y∈G に対して、ある a∈G が存在して、y=axa−1 となるようにできるとする。

このとき、「 y が x に共役である 」 という。

明らかに、y が x に共役ならば x も y に共役である。

そこで、単に 「 x と y は共役である 」 ということも多い。

定義 ( 共役類 )

よく知られているように、共役は同値関係である。

そこで、共役による同値類を 『 共役類 』 という。

C2

定義(指標)の状況を引き継ぐ。

このとき、χ(a)は基底の取り方に依存しない。

証明

ρ:G→GL(K)をφの B に関する表現行列とする。

ρ:G→GL(K)をφの B に関する表現行列とする。

いま、ある P∈GL)が存在して、ρ(a)=P−1ρ(a)P となる。(※C1)

よって、tr(ρ(a))=tr(P−1ρ(a)P)=tr(ρ(a))である。

C3

同値な表現の指標は一致する。

証明

φ:G→GL(V)、φ:G→GL(V)を指標とする。

φとφ は同値であるとする。

つまり、ある同型写像 f:V→V が存在して、f*φ(a)=φ(a)*f ( a∈G ) である。

いま、φ(a)=f−1*φ(a)*f である。

後は、それぞれ表現行列を考え、両辺で tr を取れば、C2 と同様に成り立つ。

C4

指標は類関数である。

証明

χを指標とする。

x、y∈G を共役な元とする。

つまり、ある a∈G が存在して、y=axa−1 となる。

いま、χ(y)=Trφ(axa−1)=Tr(φ(a)φ(x)φ(a)−1)=Trφ(x)=χ(x)である。

C5

φ:G→GL(V)を表現とする。

χ をφの指標とする。

このとき、χ(1)=dimV である。

証明

φ(1)=I である。

の表現行列は単位行列 I である。

よって、χ(1)=tr(I)=n である。