指標の直交性(指標の第1直交関係)

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定義 ( 内積 )

G を有限群とする。

φ、ψを G 上の複素数値関数とする。

次のように定義する。



(φ、ψ)を 『φとψの内積 』 という。

C6

次が成り立つ。

(1) (φ、ψ)=(ψ、φ)

(2) (φ+φ、ψ)=(φ、ψ)+(φ、ψ)

(3) (φ、ψ+ψ)=(φ、ψ)+(φ、ψ

(4) (λφ、ψ)=(φ、λψ)=λ(φ、ψ)

(1)の証明

計算すると、

(2)〜(4)の証明

明らかである。

定義 ( 直交 )

(φ、ψ)=0 のとき、「φとψは直交する 」 という。

C7

G を有限群とする。

φ:G→GL(V)を次数 n の既約表現とする。

ψ:G→GL(V)を次数 m の既約表現とする。

φとψは同値でないとする。

φ(a)=(αij(a))とおく。

( つまり、αij(a)はφ(a)の(i、j)成分である )

ψ(a)=(βij(a))とおく。

( つまり、βij(a)はψ(a)の(i、j)成分である )

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

A=(aij)を(m、n)型行列とする。

( もちろん、aij、αij、a はそれぞれ意味が異なるので注意 )

次のようにおく。



いま、φ(a)P=x∈Gφ(ax)Aψ(x−1)である。(★1)

y=ax とおく。

x が G 全体を動けば、y も G 全体を動く。

( x として a−1y を採用すればよい )

また、x−1=y−1a である。

よって、φ(a)P=y∈Gφ(y)Aψ(y−1a)=Pψ(a)である。

以上により、任意の a∈G に対し、φ(a)P=Pψ(a)である。(★2)

いま、φとψは同値ではない。

よって、P=0 である。(※シューアの補題)

いま、A は任意である。

そこで、aμν=1とし、他を 0 とする。

いま、Pの定義より、



つまり、(αiμ、βνj)=0 である。(※定義:内積)

(2)の証明

(1)において、φ=ψとする。

すると、(★2)より、T=λI (λ∈) である。(※シューアの補題(3))

ただし、T は P によって定まる線形写像である。

よって、P=λI ( I は単位行列 ) である。

両辺のトレースをとると、(*)より、|G|TrA=nλである。

A は任意であるから、aμν=1とし、他の成分を 0 としてみる。

いま、λ=n−1|G|trA である。

よって、P の定義より、



つまり、

C8 ( 指標の第1直交関係 )

G を有限群とする。

χ、χ’を G の既約指標とする。

χ、χ’は同値でないとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (χ、χ’)=0

(2) (χ、χ)=1

証明

C7 において i=μ、j=νとし、すべての i、j について和をとればよい。

定義 ( 表現の既約分解 )

ρ、・・・、ρ を G の互いに同値でない既約表現全体とする。

χ、・・・、χ をそれぞれの指標とする。

ρを G の任意の表現とする。

いま、ρはいくつかの既約表現の直和に分解される。(※マシュケの定理)

ρ と同値なものが m 個だけ現れたとする。

つまり、ρは次と同値である。



このとき、ρ〜mρ□・・・□mρ と表す。

また、これを 『 ρの既約分解 』 という。

また、m を 『 ρにおけるρ の重複度 』 という。

もしかすると、

「 なぜρ に重複があるのだろうか?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、マシュケの定理によってρを分解したとき、それら既約表現はすべて異なるものである。

しかし、それらの中には同値な表現も含まれている。

定義に書いたように、こうした同値なものは同じものに置き換えているから重複ができる。

定義 ( 指標の既約分解 )

上の定義(表現の既約分解)の状況を引き継ぐ。

このとき、ρの指標χは、χ=mχ+・・・+mχ と表される。

これをχの 『 既約分解 』 という。

また、χ を 『 χの既約成分 』 という。

C9

χ=mχ+・・・+mχ を既約分解とする。

このとき、m=(χ、χ)である。

つまり、χの既約分解は一意である。

証明

明らかである。(※C8、C6)

C10

φとψを G の表現とする。

このとき、次は同値である。

(1) φとψは同値である。

(2) φとψの指標は一致する。

証明

(1)⇒(2)は既に示した。(※C3)

(2)を仮定する。

χをφ、ψの指標とする。

いま、次のように表せる。

φ〜mφ□・・・□mφ

ψ〜m’φ□・・・□m’φ

また、m=(χ、χ)=m’である。(※C9)

これはφ〜ψを意味する。

C11

φを G の表現とする。

χをφの指標とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは既約表現である。

(2) (χ、χ)=1

証明

(1)⇒(2)は既に示した。(※C8)

(2)を仮定する。

φ〜mφ□・・・□mφ をφの既約分解とする。

いま、χ=mχ+・・・+mχ である。

よって、次が成り立つ。(※C8)



よって、ある i に対して m=1 であり、その他の i に対して m=0 である。

よって、φ〜φ である。

よって、φは既約表現である。