素イデアル、極大イデアル

サイトのTOP→理系インデックス
続・環論のTOP→続・環論インデックス





記号の取り決め

A が B の真部分集合であるとき、A<B と表す。

定義 ( 素イデアル )

R を環とする。

<R を R のイデアルとする。

さらに、次が成り立つとする。



このとき、 を 『 R の素イデアル 』 という。

定義 ( 極大イデアル )

R を環とする。

<R を R のイデアルとする。

しかも、次を満たすイデアル が存在しないとする。



このとき、 を 『 R の極大イデアル 』 という。

復習 ( 単項イデアル )

R を環とする。

a∈R とおく。

a によって生成されるイデアルを (a) と表す。

これを 『 単項イデアル 』 という。

A13 ( 極大イデアルの存在証明 )

R を可換環とする。

I<R を R のイデアルとする。

このとき、I を含む R の極大イデアル が存在する。

とくに、a∈R が単元でないならば、a が属する極大イデアルが存在する。

補足

この定理の証明ではツォルンの補題を使用する。

ツォルンの補題を知らない人は読まなくてもよい。

後の理解に被害が出るわけではない。

証明

Ωを、I を含むイデアルで R 自身ではないもの全体とする。

いま、I∈Ωである。

( Ωが包含関係について帰納的順序集合であることを示す )

X⊂Ωを全順序集合とする。

=∪M∈XM とおく。

x、y∈M とおく。

いま、ある M、M∈X が存在して、x∈M、y∈M となる。

X は全順序集合であるから、M⊂M または M⊂M である。

よって、x、y∈M または x、y∈M である。

よって、x±y∈M または x±y∈M である。

同様に、a∈R 、x∈M ならば ax∈M である。

以上により、M は R のイデアルである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

さて、明らかに、I⊂M である。

=R と仮定する。(背理法)

いま、ある M∈M が存在して、1∈M である。

よって、M=R である。(※定義:イデアル)

これは矛盾である。

よって、M≠R である。

よって、M∈Ωである。

明らかに、任意の M∈X に対し、M⊂M である。

よって、M は X の上界である。

よって、Ωの任意の全順序部分集合はΩにおいて上界をもつ。

よって、Ωは極大元 をもつ。(※ツォルンの補題)

この は極大イデアルである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

a∈R は単元でないとする。

いま、I=(a)≠R である。(※定義:単元)

よって、(a)を含む極大イデアル が存在する。

明らかに、a∈ である。

A14

R を環とする。

<R をイデアルとする。

このとき、次は同値である。

(1)  は素イデアルである。

(2) R/ は整域である。

証明

π:R→R/ を自然な準同型写像とする。

いま、x、y∈R に対し、次が成り立つ。



また、πは全射である。

よって、任意の a∈R/−{0}に対し、ある x∈R− が存在して、π(x)=a となる。

以上により、次はいずれも同値である。

(*1)  は素イデアルである。

(*2) a、b∈R/−{0} ⇒ ab∈R/−{0}

(*3) R/ は整域である。

A15

R を可換環とする。

を R のイデアルとする。

このとき、次は同値である。

(1)  は極大イデアルである。

(2) R/ は体である。

証明

次は同値である。

(*1)  は極大イデアルである。

(*2)  を含むイデアルは と R のみである。

(*3) R/ のイデアルは 0 と R/ のみである。(※S2:イデアルの1対1対応)

(*4) R/ は体である。(※代数学:B21)

A16

可換環の極大イデアルは素イデアルである。

証明

明らかである。(※A15、14、代数学:B3)

A17

を環 R の素イデアルとする。

、・・・、I を R のイデアルとする。

∩・・・∩I とする。

このとき、ある k∈{1、・・・、n } が存在して、I となる。

証明

、・・・、I がいずれも に属さないとする。(背理法)

いま、任意の k∈{1、・・・、n} に対し、ある x∈I が存在して、x∈I となる。

ここで、x=x・・・x とおく。

いま、x∈ I∩・・・∩I である。(※定義:イデアル)

しかし、これは が素イデアルであることに矛盾する。