素体、標数

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定義 ( 素体 )

K を体とする。

K の部分体が K 自身のみであるとする。

このとき、K を 『 素体 』 という。

B7

体は一意に素体を含む。

証明

K を体とする。

K の部分体全体の共通部分を F とする。

明らかに、F は部分体である。

明らかに、F は素体である。

F’を K に含まれるもう1つの素体とする。

いま、F⊂F’である。

また、F’は素体であるから、F=F’である。

B8

F を体とする。

f:→F を f(n)=n・1 で定義する。(★)

このとき、次が成り立つ。

(1) f は準同型写像である。

(2) ある p∈ ( ただし p≧0 ) が存在して、Kerf=(p)となる。

(3) p は 0 または素数である。

(★)について補足

ただし、n・1 は n個の 1∈F が並んだ和 1+・・・+1 を意味する。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

Kerf は のイデアルである。(※代数学:B20)

また、 は単項イデアル整域である。(※A35、A37)

よって、ある p∈ が存在して、Kerf=(p)である。

明らかに、(p)=(−p)である。

よって、p≧0 としてよい。

(3)の証明

(2)より、/(p)と f()は同型である。(※準同型定理)

いま、f()は F の部分環である。(※代数学:B19)

また、1∈f()である。(※代数学:B17)

また、F は整域である。(※代数学:B3)

よって、f()も整域である。

よって、f()と同型な /(p)も整域である。

よって、(p)は素イデアルである。(※A14)

よって、p は 0 または素数である。(※A39)

定義 ( 標数 )

B8 で定義した p を 『 F の標数 』 という。

p=0 の場合は と f() を同一視する。(★1)

つまり、⊂F である。

よって、⊂F である。(※体の定義に注意すればよい)

p が素数である場合は /(p)と f() を同一視する。(★2)

つまり、/(p)⊂F である。

(★1)について補足

p=0 を考えると、B8(2)より、Kerf=(0)である。

つまり、Kerf={0}である。

よって、f は単射である。

よって、 と f() を同一視できる。

(★2)について補足

B8(3)の証明で述べたように、/(p)と f()は同型である。

つまり、(m) と m・1 を同一視できる。(※詳しくは環の準同型定理の証明を参照)

ちなみに、/(p)={(0)、(1)、・・・、(p−1)}である。(※代数学)

/(p)の零元は(0)であり、単位元は(1)である。

B9 ( 素体は2種類のみ )

素数 p に対し、/(p)と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1)  は素体である。

(2)  は素体である。

(3) 一般に、体の素体は または のいずれかである。

(1)の証明

F を の部分体とする。

1∈F である。

よって、⊂F である。

よって、⊂F である。(※体の定義に注意すればよい)

よって、F= である。

(2)の証明

F を の部分体とする。

1∈F である。

よって、{1、2、3、・・・}⊂F である。

一方、={1、・・・、p}である。( ただし p=0 である )

よって、⊂F である。

よって、F= である。

(3)の証明

K を体とする。

K の標数は 0 または素数 p である。(※B8)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、K の標数が 0 である場合を考える。

いま、⊂K である。(※定義:標数)

よって、⊂K である。

よって、(1)より、K に含まれる素体は のみである。(※B7)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、K の標数が素数 p である場合を考える。

いま、/(p)⊂K である。(※定義:標数)

つまり、⊂K である。

よって、(2)より、K に含まれる素体は のみである。(※B7)

参考

標数について少し別の角度から改めて説明する。

F を体とする。

を F の単位元とする。

φ:→F をφ(1)=1 で定義する。

明らかに、φは準同型である。

一見すると、上の定義は1∈ に対してだけしか値を定めていないようにみえる。

ところが、上の定義だけで残りの m∈ に対しても値を定めたことになる。

実際、いま、φは環の準同型写像であるから、

φ(2)=φ(1+1)=φ(1)+φ(1)=1+1

φ(3)=φ(2+1)=φ(2)+φ(1)=1+1+1

φ(−2)=φ(−1・2)=φ(−1)φ(2)=−φ(1)φ(2)=−(1+1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

既に示したように、Kerφ=(0)または(p)である。

Kerφ=(0)の場合について考える。

これは 1 を何回たしても 0 にならないという意味である。

しかも、1 をたし合わせた回数が異なるならば、それらはすべて異なる元である。

( もし m・1=n・1 としたら(m−n)・1=0 で矛盾するからである )

つまり、φは単射である。

しかも、演算の規則も対応している。

つまり、 とφ()は同型である。

よって、 とφ()を同一視できる。

Kerφ=(p)の場合について考える。

これは 1 を p 回だけ加えると 0 になるという意味である。

一方、/(p)も、(1)を p 回たすと(0)になる。

つまり、/(p) と φ()は同じ構造をもっている。

つまり、/(p) と φ()は同型である。

よって、/(p) と φ()を同一視できる。