完全系列の分裂

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B5 ( 完全系列の分裂 )

次のような完全系列を考える。

(*) 0→M(f)→M(g)→M→0

このとき、次は同値である。

(1) M の A 部分加群 N が存在して、M=f(M)□N となる。

(2) A 準同型写像φ:M→M が存在して、φ*f=I となる。

(3) A 準同型写像φ:M→M が存在して、g*φ=I となる。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、f は単射である。(※A11)

よって、M と f(M)は同型である。

f の終域を M から f(M)に変更する。

いま、f は同型写像である。

:M→f(M)を射影とする。

φ=f−1*p とおく。

いま、φ*f=I である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x∈M とおく。

y=x−f*φ(x)とおく。

いま、y∈Kerφである。

よって、M⊂f(M)+Kerφである。

よって、M=f(M)+Kerφである。

x∈f(M)∩Kerφとおく。

いま、ある y∈M が存在して、x=f(y)となる。

よって、0=φ(x)=φ*f(y)=I(y)=y である。

また、f は単射である。(※A11)

よって、x=0 である。

よって、M=f(M)□Kerφである。

N=Kerφとおく。

いま、M=f(M)□N である。

(1)⇔(3)の証明

上と同様である。