商体

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参考

以下、同一視という概念が何度も登場する。

そこで、同一視の意味をここで確認しておこう。

A、B を集合とする。

φ:A→B を単射とする。

いま、φを A からφ(A)への全単射として考えることができる。

x∈A と φ(x)∈B を同じ元として考えることができる。

このとき、「 x と φ(x) を同一視する 」 などという。

また、「 A と φ(A) を同一視する 」 という。

同一視という概念について、

「 異なるものを同じとして扱うって、何か変な感じがするなぁ・・・」

「 そんなことをして、後に問題が起きたりはしないのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

この疑問は正しい。

何かを同一視するときには、当然、同一視をしても問題ない範囲で議論する。

A を m×n 行列とする。

を f(x)=Ax で定義する。

よく知られているように、m×n 行列と から への線形写像は1対1で対応する。

だから、f を A と書いても誤解の恐れはない。

つまり、A: である。

これは A と f を同一視しているということである。

B1

L を体とする。

R を L の部分環とする。( つまり、R は可換環である )

K={ ab−1|a、b∈R、b≠0 } と定義する。

このとき、K は体である。

補足

a、b∈R かつ b≠0 とする。

いま、b∈L である。

また、L は体なので、b−1 が存在する。

よって、上のように集合 K を定義できる。

ab−1 は L の元であるが、R の元とは限らない。

証明

明らかに、K は加法に関してアーベル群である。

零元は 0 であり、ab−1 の逆元は(−a)b−1 である。

明らかに、乗法に関して結合則が成り立つ。

明らかに、分配則が成り立つ。

以上により、K は環である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ab−1∈K とおく。

いま、ab−1=0 ⇔ a=0 である。

よって、ab−1 が K の零元でないなら、a≠0 である。

よって、ba−1∈K である。

また、(ab−1)ba−1=1 である。

よって、ab−1 は単元である。

以上により、K は体である。

定義 ( 商体〜その1 )

L を体とする。

R を L の部分環とする。( つまり、R は可換環である )

K を L の部分体とする。

任意のα∈K に対し、ある a、b∈R が存在して、α=ab−1 となるとする。

このとき、K を 『 R の商体 』 という。

定義 ( 商体〜その2 )

R を可換環とする。

K を体とする。( この時点では R と K の間には何も関連がないことに注意する )

次が成り立つとする。

(1) 単射準同型写像φ:R → K が存在する。

(2) 任意のα∈K に対し、ある a、b∈R が存在して、α=φ(a)φ(b)−1 となる。

このとき、φ(a)とφ(b)を R の元として見なすことにする。

( つまり、φ(a)と a を同一視し、φ(b)−1 と b−1 を同一視する )

このように考えれば、K を 『 R の商体 』 と呼んでよいことになる。

B2 ( 整域から商体を構成できる )

整域 R の商体は必ず存在する。

証明

X={ (a、b)|a、b∈R、b≠0 } と定義する。

つまり、X は R×R の部分集合である。

ここで、(a、b)、(a’、b’)∈X に対し、次のような関係 〜 を定義する。

(*) (a、b)〜(a’、b’) ⇔ ab’−a’b=0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*)が同値関係であることを示す。

そのためには、次を示せばよい。

(1) (a、b)〜(a、b)

(2) (a、b)〜(a’、b’) ⇒ (a’、b’)〜(a、b)

(3) (a、b)〜(a’、b’)、(a’、b’)〜(a’’、b’’) ⇒ (a、b)〜(a’’、b’’)

まず、(1)、(2)が成り立つことは明らかである。

次に、(3)について示す。

(a、b)〜(a’、b’)かつ(a’、b’)〜(a’’、b’’)と仮定する。

いま、ab’=a’b かつ a’b’’=a’’b’である。

よって、ab’b’’=a’bb’’=ba’’b’である。

よって、(ab’’−ba’’)b’=0 である。

いま、R は整域であり、b’≠0 であるから、ab’’−ba’’=0 である。

よって、(a、b)〜(a’’、b’’)である。

よって、(3)が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*)による同値類の集合を F とする。

( つまり、F=X/〜である )

また、(a、b)が属する同値類 a/b と表す。

いま、明らかに、a/b=c/d ⇔ ad−bc=0 である。

F に対し、和と積を次のように定義する。

(*1) a/b+c/d=(ad+bc)/bd

(*2) (a/b)(c/d)=ac/bd

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 上で定義した(*1)、(*2)が well-defined であることを示す )

a/b=a’/b’かつ c/d=c’/d’と仮定する。

いま、ab’=a’b かつ cd’=c’d である。

よって、(ad+bc)b’d’=ab’dd’+bb’cd’=a’bdd’+bb’c’d=(a’d’+b’c’)bd である。

また、acb’d’=ab’cd’=a’bc’d=bda’c’である。

よって、(ad+bc)/bd=(a’d’+b’c’)/b’d’である。

また、ac/bd=a’c’/b’d’である。

よって、(*1)、(*2)で定義した和・積は代表元の取り方に依存しない。

F がこの演算に関して体になることは B1 と同様に確認できる。

零元は 0/1 であり、単位元は 1/1 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ:R→F をφ(a)=a/1 で定義する。

明らかに、これは単射準同型写像である。

α∈F とおく。

いま、ある a、b∈R が存在して、α=a/b である。

また、a/b=(a/1)(1/b)=φ(a)φ(b)−1である。

つまり、任意のα∈F に対し、ある a、b∈R が存在して、α=φ(a)φ(b)−1 となる。

よって、F は R の商体である。

B3 ( 分数の計算 )

B2 の証明に書かれている F に対して次が成り立つ。

(1) ac/bc=a/b

(2) a/c+b/c=(a+b)/c

(3) 0/1=0/b

(4) −(a/b)=(−a/b)

(5) 1/1=a/a (a≠0)

(1)の証明

acb=bca ⇔ (ac、bc)〜(a、b) ⇔ ac/bc=a/b である。

(2)の証明

(1)より、a/c+b/c=(ac+bc)/cc=(a+b)c/cc=(a+b)/c である。

(3)、(4)、(5)の証明

明らかである。

B4

の商体である。

証明

明らかである。(※定義:商体〜その1)

補足

私たちは を経験的に使用しているが、厳密には上記のようにして整数から構成されるのである。

よく知られている分数の性質は B3 で確認された。

B5

R、R’を整域とする。

F、F’を R、R’の商体とする。

このとき、R と R’が同型ならば F と F’も同型である。

証明

f を R から R’への同型写像とする。

いま、写像φ:R → F とφ’:R’→ F’が存在して、定義(商体〜その2)を満たす。

ψ:F→F’をψ(φ(a)φ(b)−1)=φ’(f(a))φ’(f(b))−1 で定義する。

このψは a、b の取り方に依存しない。

また、同型写像である。

B6

整域 R の商体はすべて同型である。

証明

R から R への恒等写像に対して B5 を適用すればよい。