既約表現、シューアの補題

サイトのTOP→理系インデックス
表現論のTOP→表現論インデックス





定義 ( 表現の既約、可約 )

φ:G→GL(V)を表現とする。

φは V と{0}以外に G 不変部分空間をもたないとする。

このとき、「φは既約である 」 という。

そうでないとき、「φは可約である 」 という。

定義 ( R加群の既約、可約 )

M を R加群とする。

M は M と{0}以外に R 部分加群をもたないとする。

このとき、「 M は既約である 」 という。

そうでないとき、「 M は可約である 」 という。

定義 ( G不変補空間 )

W を V の G 不変部分空間とする。

ある G 不変部分空間 W’が存在して、V=W□W’となるとする。

このとき、W’を 『 W の G 不変補空間 』 という。

B3

R を環とする。

M、N を既約左 R 加群とする。

f:M→N を R 準同型写像とする。

ただし、f≠0 とする。( f は零写像ではないという意味である )

このとき、f は R 同型写像である。

証明

いま、Imf は N の左 R 部分加群である。

よって、Imf=N である。

よって、f は全射である。

一方、Kerf は M の左 R 部分加群である。

また、Kerf≠M である。

よって、Kerf={0}である。

よって、f は単射である。

以上により、f は R 同型写像である。

B4 ( シューアの補題 )

V、W をベクトル空間とする。

φ:G→GL(V)、ψ:G→GL(W)を既約表現とする。

f:V→W を線形写像とする。

任意の a∈G に対し、fφ(a)=ψ(a)f とする。

( つまり、任意の v∈V に対し、fφ(a)(v)=ψ(a)f(v)である )

このとき、次が成り立つ。

(1) φとψが同値でないならば f=0 である。

(2) f≠0 ならば f は同型で、φとψは同値である。

(3) K が代数的閉体で、V=W かつφ=ψならば f=λI (λ∈K)である。

(1)の証明

φとψは同値でないとする。

a∈G、x∈Kerf とおく。

いま、f(φ(a)(x))=ψ(a)f(x)=0 である。

よって、φ(a)(x)∈Kerf である。

よって、Kerf は V の不変部分空間である。

いま、φは既約表現である。

ここで、Kerf≠{0}が示されたとする。(★)

いま、Kerf=V である。

つまり、f は零写像である。

そこで、後は(★)を示せばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Kerf={0}と仮定する。(背理法)

いま、f は単射である。

また、φとψは同値ではない。

つまり、f は同型写像ではない。

よって、Imf≠W である。

y∈Imf とおく。

いま、ある x∈V が存在して、f(x)=y となる。

仮定より、任意の a∈G に対し、ψ(a)f(x)=f(φ(a)(x))である。

よって、ψ(a)(y)∈Imf である。

よって、Imf は W の不変部分空間である。

いま、ψは既約表現である。

また、既に示したように、Imf≠W である。

よって、Imf={0}である。

いま、f は単射である。

よって、V={0}である。

これは矛盾である。

(2)の証明

これは(1)の対偶である。

(3)の証明

dimV=n とする。

V の基底を1つ選ぶ。

いま、V と K を同一視してよい。(※線形代数)

A∈M(K)を f の表現行列とする。

いま、K は代数的閉体である。

よって、A は固有値をもつ。

λを A の1つの固有値とする。

E をλの固有空間とする。

つまり、E={ x∈V|f(x)=λx } である。

x∈E とする。

いま、Aφ(a)(x)=φ(a)Ax=φ(a)λx=λφ(a)(x)である。

よって、φ(a)(x)∈E である。

よって、φ(a)E⊂E である。

よって、E は V の不変部分空間である。

また、E≠{0}である。

よって、E=V である。

よって、f=λI である。