対称群、交代群、2面体群

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定義 ( 対称群 )

X を空でない集合とする。

を X から X への全単射な写像全体とする。

の演算を写像の合成で定める。

明らかに、S はこの演算に関して群である。

このとき、S を 『 X の対称群 』 という。

の単位元は恒等写像である。

逆元は逆写像である。

定義 ( n次対称群 )

X={ 1、・・・、n } とする。

このとき、S を S と表す。

この S を 『 n 次対称群 』 という。

n次対称群を 『 n次置換群 』 と呼ぶ本もある。

定義 ( 置換 )

対称群 S の元を 『 X の置換 』 という。

つまり、X の置換とは X から X への全単射である。

の元σは次の形で表せる。



つまり、1 を i に写し、2 を i に写し、・・・、n を i に写すという意味である。

よって、S の位数は|S|=n!である。

定義 ( 巡回置換 )

を対称群とする。

k≦n とし、相異なる k 個の元 i、・・・、i∈X を次のように対応させる。



これ以外の元は恒等置換と同じようにして動かさないとする。

このような置換を 『 長さ k の巡回置換 』 といい、次のように表す。



とくに、長さ 2 の巡回置換を 『 互換 』 という。

むろん、( i、・・・、i )∈S である。

例えば、次のように表す。



1→4→5→1のように巡回していることが分かる。

S4

任意の置換は、互換の積で表される。

証明

線形代数などでよく知られている。

S5

ある置換ρ∈S を2通りの互換の積で表すことができたとする。

(*) ρ=σ・・・σ=τ・・・τ

このとき、r と s の偶奇は一致する。

証明

線形代数などでよく知られている。

定義 ( 符合 )

置換σを m 個の互換の積で表すことができるとする。

sgn(σ)=(−1) と定義する。

sgn(σ) を 『 σの符合 』 という。

既に述べたように、置換σを互換の積に分解する方法は複数存在する。

このとき、

「 分解の仕方に依存してsgn(σ)の値が変わってしまうのでは?」

・・・という疑問が生じる。

しかし、そんなことは起こらないということは既に保障されている。(※S5)

だから、sgn を上のように定義できるのである。

定義 ( 交代群 )

sgn:S→{±1}を符合とする。

sgn(σ)=+1 の場合、σを 『 偶置換 』 という。

sgn(σ)=−1 の場合、σを 『 奇置換 』 という。

偶置換全体を A と表す。

このとき、A を 『 交代群 』 という。

S6

n≧2 ならば、|A|=n!/2 である。

証明

省略する。

詳しい証明を知りたい人は続・群論インデックスを参照。

ただし、この証明を読まないことによって後の理解に被害が出るわけではない。

S7

n≧2 とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) S は n−1 個の互換 ( 1 2 )、・・・、( 1 n ) によって生成される。

(2) A は n−2 個の巡回置換 ( 1 2 3 )、・・・、( 1 2 n )によって生成される。

証明

省略する。

詳しい証明を知りたい人は続・群論インデックスを参照。

ただし、この証明を読まないことによって後の理解に被害が出るわけではない。

定義 ( 2面体群 )

n≧3 を自然数とする。

を正 n 角形とする。

X={ P、・・・、P } を T の頂点全体とする。

を T 自身へ重ね合わせる操作(回転)を考える。

これは X から X への全単射であり、T の任意の2点間の距離を変えない。

このような写像を 『 T の合同変換(等長変換) 』 という。

の合同変換全体を D と表す。

明らかに、D は S の部分群である。

このとき、D を 『 2面体群 』 という。

むろん、上の定義では { P、・・・、P } と {1、・・・、n} を同一視している。

S8 ( D の元を具体的に考える )

を2面体群とする。

σを、正3角形の中心を面に対して垂直に通る軸に関する反時計回りの 2π/3 回転とする。

τ を、頂点 P と正3角形の中心を通る直線 L に関するπ回転とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 6個の回転対称性が存在する。

(2) 6個の回転対称性はσとτ によって生成される。

(3) 6個の回転対称性は群をなす。

(1)の証明

σ、σ、τ、τ、τ、e である。

(2)の証明

τ : τ

τ : στ

τ : στ

σ : σ

σ: σ

e : σ

このように、τ、τ、τ、σ、σ、e はσとτ の組み合わせで再現できる。

(3)の証明

簡単のため、τ を τ と表す。

(2)より、6個の回転対称性は次のように表せる。

(*) e、σ、σ、τ、στ、στ

これらは下表のように群をなす。



ただし、積 xy は行 x と列 y の交差点に置かれる。

例えば、○で囲まれた要素は (στ)τ を意味する。

S9 ( S8の一般化 )

を2面体群とする。

σを、正 n 角形の中心を面に対して垂直に通る軸に関する反時計回りの 2π/n 回転とする。

τを、ある頂点と正 n 角形の中心を通る直線に関するπ回転とする。

このとき、D の元は次の形で表される。

(*) e、σ、・・・、σn−1、τ、στ、・・・、σn−1τ

とくに、τσ=σ−1τ が成り立つ。

証明

明らかに、

(*1) σ=e

(*2) τ=e

(*3) τσ=σn−1τ

(*4) σn−1=σ−1

(*5) τσ=σ−1τ

とくに、(*5)が重要である。

これはすべての積を(*)によって生成できることを意味する。

例えば、τσ は(*)にはない。

しかし、(*5)より、τσ=τσσ=σ−1τσ=σ−2τ=σn−2τである。