部分群の対応原理、イデアルの対応原理

サイトのTOP→理系インデックス
続・環論のTOP→続・環論インデックス





S1 ( 群の対応原理 )

G を群とする。

N を G の正規部分群とする。

π:G→G/N を自然な準同型写像とする。

X={ K|K は G/N の部分群 } とおく。

Y={ H|H は G の部分群で、N を含む } とおく。

f:X→Y を f(K)=π−1(K)で定義する。

このとき、f は全単射である。

補足

つまり、「 G/N は部分群 」 と 「 N を含む G の部分群 」 は1対1で対応する。

証明

まず、f が定義可能であることを確認する。

K を G/N の部分群とする。

x∈N とおく。

いま、π(x)=xN=N=1G/N∈K である。

よって、x∈π−1(K)である。

よって、N⊂π−1(K)である。

よって、f は定義可能である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f が全射であることを示す。

H∈Y とおく。

いま、N は H の正規部分群でもある。

よって、剰余群 H/N を考えることができる。

I:H→G を包含写像とする。( つまり H 上の恒等写像である )

いま、π*I:H→G/N である。

また、N=Ker(π*I)である。

よって、単射な準同型写像φ:H/N→G/N が存在する。(※準同型定理)

ここで、K=Imφとおく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

h∈H とおく。

いま、π(h)=π*I(h)=φ(hN)∈K である。

よって、H⊂π−1(K)である。(★1)

x∈π−1(K)とおく。

いま、xN=π(x)∈K=Imφである。

よって、ある hN∈H/N が存在して、φ(hN)=xN となる。

一方、φ(hN)=hN∈G/N である。

よって、hN=xN である。

よって、ある n∈N が存在して、x=hn と表せる。

一方、N⊂H である。

よって、x∈H である。

よって、π−1(K)⊂H である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、π−1(K)=H である。

よって、f(K)=H である。

よって、f は全射である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f が単射であることを示す。

、K∈X とおく。

f(K)=f(K)と仮定する。

いま、π−1(K)=π−1(K)である。

両辺をπで写すと、K=K である。

よって、f は単射である。(★4)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★3)、(★4)より、f は全単射である。

S2 ( イデアルの対応原理 )

R を環とする。

I を R の真のイデアルとする。

π:R→R/I を自然な準同型写像とする。

X={ K|K は R/I のイデアル } とおく。

Y={ J|J は R のイデアルで、I を含む } とおく。

f:X→Y を f(K)=π−1(K)で定義する。

このとき、f は全単射である。

証明

S1と同様である。