1変数多項式環

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注意

このページでは 0 も自然数に含まれるとする。

つまり、={0、1、2、3、・・・}とする。

定義 ( 多項式 )

R を環とする。

x を変数とする。

から R への写像で、有限個の i∈ を除いて値が 0 になるものを考える。

このような写像と変数 x の組を 『 R係数の多項式 』 という。

この写像による i∈ の値を a と表す。

とくに、i>n の値がすべて 0 であるとき、多項式を次のように表す。

(*) a+・・・+ax+a

とくに、任意の a が 0 である多項式を 0 と表す。

定義 ( R[x] )

f(x)=a+・・・+ax+a を R 係数多項式とする。

このとき、a、・・・、a を 『 f(x)の項 』 という。

とくに、a を 『 定数項 』 という。

変数 x の R係数多項式全体を R[x] と表す。

R の元は定数項以外の係数が 0 である多項式と考えて、R[x] の部分集合と見なす。

つまり、R⊂R[x] である。

明らかに、R[x] は通常の和・積に関して可換環である。

このような環を 『 R上の多項式環 』 という。

定義 ( 多項式の次数 )

f(x)=a+・・・+ax+a∈R[x] とし、a≠0 とする。

このとき、n を 『 f(x)の次数 』 といい、degf(x)と表す。

また、a を 『 f(x)の次数 k の項 』 という。

とくに、deg0=−∞ と定義する。

A1

R を環とする。

R[x] を R上の多項式環とする。

f、g∈R[x] とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) deg(f+g)≦max{degf、degg}

証明

明らかである。

A2

R を環とする。

R[x] を R上の多項式環とする。

f、g∈R[x]−{0}とする。

f または g の最高次数係数は、零因子ではないとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f(x)g(x)≠0

(2) deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)

(1)と(2)の証明

f(x)=a+・・・+ax+a∈R[x] とおく。

g(x)=b+・・・+bx+b∈R[x] とおく。

、b≠0 とする。

いま、次が成り立つ。



i≦n かつ j≦m であるから、i+j≦n+m である。

i<n または j<m ならば、i+j<n+m である。

よって、i=n かつ j=m でない場合は、i+j<n+m である。

仮定より、a、b のどちらかは零因子ではないので、a≠0 である。

よって、f(x)g(x)≠0 であり、deg(f(x)g(x))=n+m である。

A3

R を可換環とする。

R[x] を R上の多項式環とする。

このとき、次は同値である。

(1) R は整域である。

(2) R[x] は整域である。

証明

(1)を仮定する。

f(x)=a+・・・+ax+a∈R[x] とおく。

g(x)=b+・・・+bx+b∈R[x] とおく。

f(x)g(x)=0 とする。

f(x)≠0 とする。

f(x)g(x)=c+・・・+cx+c とおく。

いま、ある i∈{0、・・・、n}が存在して、a=・・・=ai−1=0 かつ a≠0 である。

また、c=a+ai−1+・・・+a=a+0+・・・+0=a である。

いま、f(x)g(x)=0 と仮定しているから、c=0 であり、a=0 である。

R は整域であるから、b=0 である。(★1)

よって、ci+1=ai+1+a+ai−1+・・・+ai+1=0+a+0+・・・+0 である。

いま、f(x)g(x)=0 と仮定しているから、ci+1=0 であり、a=0 である。

R は整域であるから、b=0 である。(★2)

(★1)から(★2)の手順を繰り返すことによって、b=・・・=b=0 である。

よって、g(x)=0 である。

よって、R[x] は整域である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)⇒(1)は明らかである。

A4 ( 多項式の剰余定理 )

R を可換環とする。

R[x] を R上の多項式環とする。

f、g∈R[x] とする。

g の最高次数係数を単元とする。

このとき、ある q、r∈R[x] が一意に存在して、f=qg+r ( degr<degg ) となる。

証明

まず、q、r が存在することを示す。

f(x)=a+・・・+ax+a とおく。

g(x)=b+・・・+bx+b とおく。

n<m の場合は q=0、r=f とおけばよい。

そこで、n≧m とする。

は単元であるから、逆元 b−1 が存在する。

(x)=f(x)−a−1n−mg(x)とおく。

いま、f(x)は次の形で表される。

(*) f(x)=an−1’xn−1+・・・

(x)=f(x)−an−1’b−1(n−1)−mg(x)とおく。

いま、f(x)は次の形で表される。

(*) f(x)=an−2’’xn−2+・・・

これを繰り返していくと、最終的に条件を満たす q、r をとることができる。

(*) f(x)=(a−1n−m)g(x)+f(x)

(*) (a−1n−m+an−1’b−1(n−1)−m)g(x)+f(x)

・・・

(*) f(x)=qg+r ( degr<degg )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、q、r が一意であることを示す。

ある q、r、q’、r’が存在して、次が成り立つようにできる。

(*1) f=qg+r ( degr<degg )

(*2) f=q’g+r’ ( degr’<degg )

ここで、q≠q’とする。(背理法)

いま、deg(q−q’)g ≧ degg > deg(r’−r)である。

一方、(*1)、(*2)より、(q−q’)g=r’−r である。

これは矛盾である。

よって、q=q’である。

よって、r=r’である。

定義 ( 根 )

f(x)∈R[x] とする。

ある α∈R が存在して、f(α)=0 となるとする。

このとき、c を 『 f(x)の根 』 または 『 f(x)=0 の解 』 という。

A5

R を可換環とする。

R[x] を R上の多項式環とする。

f(x)∈R[x] とし、α∈R とする。

このとき、ある q(x)∈R[x] が存在して、f(x)=q(x)(x−α)+f(α)となる。

証明

いま、f(x)、x−α∈R[x] である。

よって、ある q(x)、r(x)∈R[x] が一意に存在して、次が成り立つ。(※A4)

(*) f(x)=q(x)(x−α)+r(x) ( degr(x)<deg(x−α) )

degr(x)<deg(x−α)=1 であるから、r(x)は定数項である。

そこで、r(x)=r とおく。

明らかに、f(α)=r である。

A6

R を整域とする。

R[x] を R上の多項式環とする。

f(x)∈R[x] とする。

α、・・・、α∈R を f(x) の相異なる根とする。

このとき、ある g(x)∈R[x] が存在して、f(x)=(x−α)・・・(x−α)g(x) となる。

証明

ある q(x)∈R(x)が存在して、f(x)=q(x)(x−α)+f(α)である。(※A5)

f(α)=0 であるから、f(x)=q(x)(x−α) である。

ある g∈R[x] が存在して、次が成り立つとする。

(*) f(x)=(x−α)・・・(x−α)g(x) ( g(x)∈R[x]、i<n )

x=αi+1 を代入すると、(αi+1−α)・・・(αi+1−α)g(αi+1)=0 である。

いま、(αi+1−α)、・・・、(αi+1−α)≠0 かつ R は整域である。

よって、g(αi+1)=0 である。(★)

いま、g(x)、x−αi+1∈R[x] である。

よって、q、r∈R[x] が一意に存在して、次を満たす。(※A5)

(*) g=(x−αi+1)q+r ( degr<deg(x−αi+1) )

degr<deg(x−αi+1)であるから、r は定数項である。

しかも、(★)より、r=0 である。

よって、g(x)=(x−αi+1)q である。

ここで、q=g i+1(x)とおく。

いま、g(x)=(x−αi+1)gi+1(x) である。

以上により、f(x)=(x−α)・・・(x−α)(x−αi+1)gi+1(x)である。

A7

K を体とする。

K[x] を K上の多項式環とする。

f(x)∈K[x] の次数を n とする。

このとき、f(x)の根は高々 n 個である。

証明

α、・・・、α∈K を f の相異なる根とする。

m>n とする。(背理法)

いま、ある g(x)∈K[x] が存在して、f(x)=(x−α)・・・(x−α)g(x)である。(※S6)

また、degf(x)=(x−α)+・・・+(x−α)+degg(x)=m+degg(x)>n である。(※S2)

これは矛盾である。

よって、m≦n である。