n変数多項式環

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注意

このページでは 0 も自然数に含まれるとする。

つまり、={0、1、2、3、・・・}とする。

定義 ( n 変数多項式 )

R を可換環とする。

x=(x、・・・、x)を変数とする。

から R への写像で、有限個の ( i、・・・、i )∈ を除いて、値が 0 であるものを考える。

この写像と変数 x=(x、・・・、x) の組を 『 R係数の n 変数多項式 』 という。

とくに、( i、・・・、i )∈ に対する値を a・・・i とし、この多項式を次のように表す。



とくに、任意の a・・・i が 0 である多項式を 0 と表す。

上の多項式の定義は少し難しく見えるかもしれない。

例えば、3変数多項式として次のようなものを考え、定義と照らし合わせてみるとよいかもしれない。



慎重に理解していけば、これが写像の1つの表現に視えてくると思う。

もう少し詳しく書くと、



つまり、(1、0、1)∈ に a を、(2、0、0)∈ に b を、(0、0、1)∈ に c を対応させている。

それ以外にも の元は存在するが、それらの係数は 0 になっていると考える。

定義 ( n 変数多項式環 )

R[x]=R[x、・・・、x] を R係数多項式全体とする。

f(x)、g(x)∈R[x] を次のようにおく。



明らかに、R[x] は通常の和・積に関して可換環である。

そこで、この環 R[x] を 『 R上の n 変数多項式環 』 という。

定義 ( n 変数多項式の次数 )

R[x]=R[x、・・・、x] を R上の多項式環とする。

f(x)∈R[x] とする。

f(x)を次のようにおく。



f(x)≠0 の場合、degf(x)を次のように定義する。



f(x)=0 の場合、degf(x)=−∞ と定義する。

degf(x)を 『 f(x)の次数 』 という。

定義 ( n次形式 )

多項式 f(x)における 0 でない項の次数が全て n であるとする。

このとき、f(x)を 『 n 次形式 』 という。

とくに、多項式としての 0 は任意の n に対して、n次形式と見なす。

例えば、x−3xy+y は3次形式である。

A8

R を可換環とする。

、・・・、x を変数とする。

このとき、R[x、・・・、x]=R[x、・・・、xn−1][x] である。

補足

もしかしたら、R[x、・・・、xn−1][x] という表記に戸惑う人がいるかもしれない。

ここでは R[x、・・・、xn−1] が環であることに注意しよう。

R[x]などと書くのと同じように、R[x、・・・、xn−1][x] と書いているのである。

証明

f(x、・・・、x)∈R[x、・・・、x] を次のようにおく。



これを次のように見なせばよい。

A9

R を可換環とする。

x=(x、・・・、x)を変数とする。

このとき、次は同値であある。

(1) R は整域である。

(2) R[x] は整域である。

(1)を仮定する。

R が整域であるから、R[x] は整域である。(※A3)

よって、R[x、x]=R[x][x] は整域である。(※A8、A3)

よって、R[x、x、x]=R[x、x][x] は整域である。(※A8、A3)

これを繰り返せば、R[x] は整域である。

一方、(2)⇒(1)は R⊂R[x] より明らかである。

A10

R を整域とする。

x=(x、・・・、x)を変数とする。

f(x)、g(x)∈R[x] とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) deg(f(x)+g(x))≦max{ degf(x)、degg(x) }

(2) deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

=degf(x)、d=degg(x)とする。

f(x)=0 の場合は、(−∞)=(−∞)+d と考えて(2)が成り立つと見なす。

g(x)=0 の場合は、(−∞)=d+(−∞) と考えて(2)が成り立つと見なす。

そこで、f(x)、g(x)≠0 とする。

f(x)を次のようにおく。



k≧0 に対し、次のようにおく。



いま、f(x)=f(x)+・・・+f(x)である。

( むろん、f(x)は k次形式である )

また、f(x)≠0 である。

同様に、g(x)=g(x)+・・・+g(x)である。

( むろん、g(x)は k次形式である )

また、g(x)≠0 である。

いま、f(x)g(x)は (k+m)次形式である。

k<d または m<d ならば、k+m<d+d である。

また、f≠0 である。(※A9)

また、



よって、deg(f(x)g(x))=d+d である。

A11

R を整域とする。

R[x]=R[x、・・・、x] を R上の n 変数多項式環とする。

このとき、R[x、・・・、x] の単元は R の単元である。

証明

f(x)を R[x、・・・、x] の単元とする。

いま、ある g(x)∈R[x、・・・、x] が存在して、f(x)g(x)=1となる。

また、degf(x)+degg(x)=0 である。(※A10)

よって、degf(x)=degg(x)=0 である。

よって、f(x) と g(x) は定数項である。

そこで、f(x)=a、g(x)=b とおく。

いま、a、b∈R である。

また、ab=1である。

つまり、a は R の単元である。