単純拡大

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定義 ( 添加して得られる部分体 )

E/F を拡大とする。

α、・・・、α∈E とする。

F と {α、・・・、α} を含む最小の部分体を F(α、・・・、α)と表す。

これを 『 F に α、・・・、α を添加して得られる部分体 』 という。

C4

E/F を拡大とする。

F と {α、・・・、α} を含む E の部分体全体を { Kλ|λ∈J } とする。

このとき、F(α、・・・、α)=∩λ∈Jλ である。

証明

明らかである。

定義 ( 単純拡大 )

E/F を拡大とする。

ある θ∈E が存在して、E=F(θ)となるとする。

このとき、E を 『 F の単純拡大 』 という。

C5

F(θ)を F の単純拡大とする。

θは F 上で代数的であるとする。

θの次数を n とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F(θ)=F[θ]

(2) 1、θ、θ、・・・、θn−1 は F(θ)の F 上の基底である。

とくに、(2)は [F(θ):F]=n を意味する。

(1)の証明

p(X)を θ の F 上の最小多項式とする。

いま、degp(X)=n である。

また、Jθ=(p(X))である。

いま、p(X)は既約である。(※C1)

よって、F[X]/(p(X))は体である。(※A39)

φ:F[X]→F[θ] を F(f(X))=f(θ) で定義する。

いま、φは準同型写像である。

また、Kerφ=(p(X))である。(※定義:最小多項式)

よって、F[X]/(p(X)) と F[θ] は同型である。(※準同型定理)

よって、F[θ] も体である。

一方、明らかに、F[θ]⊂F(θ)である。

よって、F[θ]=F(θ)である。(※F(θ)の最小性)

(2)の証明

f(X)∈F[X] とおく。

いま、ある q(X)、r(X)∈F[X] が存在して、f(X)=q(X)p(X)+r(X) かつ degr(X)<n となる。

ここで、r(X)=a+aX+・・・+an−1n−1 ( a∈F )とおく。

いま、f(θ)=r(θ)である。

よって、任意の f(θ)∈F[θ] は f(θ)=a+aθ+・・・+an−1θn−1 の形で表せる。

つまり、1、θ、θ、・・・、θn−1 は F[θ]=F(θ)を生成する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1、θ、θ、・・・、θn−1 が1次独立であることを示す。

+cθ+・・・+cn−1θn−1=0 ( c∈F )とする。

、c、・・・、cn−1 のいずれか1つは 0 でないとする。(背理法)

これは、ある h(X)∈F[X] が存在して、h(θ)=0 となることを意味する。

しかも、degh(θ)<n である。

これは最小多項式の次数が n 次であることに矛盾する。