テンソル積の紹介

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定義 ( R双線形写像 )

、M、N を R加群とする。

f:M×M→N を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) f(u、v)は v を固定すると、u についてR準同型写像である。

(2) f(u、v)は u を固定すると、v についてR準同型写像である。

このとき、f を 『 R双線形写像 』 という。

C5

M、N をR加群とする。

L をR加群とする。

R双線形写像ψ:M×N→L が存在する。

任意の R加群 U と任意の R双線形写像 F:M×N→Uに対し、

ある R準同型写像 f:L→U が一意的に存在して、F=f*ψを満たすとする。

このとき、L を 『 M と N のテンソル積 』 といい、次のように表す。



また、ψによる(x、y)の値を次のように表す。

つまり、

C6

M、N をR加群とする。

このとき、M と N のテンソル積は一意的に存在する。

補足

テンソル積の存在に関する証明は省略する。

テンソルの構成がやや複雑であることと、構成法自体はそれほど重要でないことが理由である。

一方、一意性の証明はちょうどよい練習になる。

ここでは一意性を証明する。

証明

テンソル積の一意性を証明する。

、L を2つのテンソル積とする。

いま、R双線形写像ψ:M×N→L、ψ:M×N→L が存在する。

また、ある R準同型写像 f:L→L が存在して、ψ=f*ψ となる。

( つまり、定義(テンソル積)において L=L、U=L として考えている )

また、ある R準同型写像 f:L→L が存在して、ψ=f*ψ となる。

( つまり、定義(テンソル積)において L=L、U=L として考えている )

x∈M×N とおく。

いま、ψ(x)=f*(f*ψ)(x)=(f*f)(ψ(x))である。

一方、恒等写像 I:L→L も f*f と同様の性質を満たす。

はテンソル積であるから、L から L へのR準同型写像は一意的に定まる。

( つまり、定義(テンソル積)において、L=L、U=L で考えている )

よって、I=f*f である。

同様に、恒等写像 I:L→L に対して I=f*f である。

よって、f と f は恒等写像である。

よって、L=L である。