置換表現→ケイリーの定理

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S13

G を群とし、X を集合とする。

G が X に作用しているとする。

a∈G とおく。

:X→X を T(x)=ax で定義する。

このとき、T は全単射である。

補足

つまり、T∈S である。

明らかに、Tgh=T*T である。

つまり、写像の合成に関して T 全体は S の部分群である。

証明

(x)=T(y) とおく。( x、y∈X )

いま、ax=ay∈X である。

両辺に a−1∈G を作用させると、x=y である。

よって、T は単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈X とおく。

いま、a−1∈G を x∈X に作用させると、a−1x∈X である。

よって、T(a−1x)=a(a−1x)=x である。

よって、T は全射である。

定義 ( 置換表現 )

G を群とし、X を集合とする。

G が X に作用するとする。

T:G→S を T(a)=T で定義する。

このとき、T を 『 G の X による置換表現 』 という。

∈S であることは既に保障されている。(※S13)

よって、上記のように定義できる。

明らかに、Tgh=T である。

とくに、T が単射であるとき、「 T は忠実である 」 という。

S14

置換表現は(群の)準同型写像である。

証明

T:G→S を G の置換表現とする。

g、h∈G とおく。

いま、T(gh)=Tgh=T*T=T(g)T(h) である。

参考

X={ 1、2、3、4 } を正4面体の頂点とする。

g∈G(T)に対し、T:X→X を T(x)=gx で定義する。

φ:G(T)→S をφ(g)=T で定義する。

いま、φ は G(T) の置換表現である。

既に示したように、φは準同型である。

ここではこのことを直接的に確認してみよう。

g、h∈G(T)とおく。

いま、次のように表せる。



よって、



つまり、φは準同型である。

S15 ( ケイリーの定理〜その1 )

G を群とする。

このとき、G は S の部分群と同型である。

証明

g∈G とおく。

:G→G を L(x)=gx で定義する。

いま、L∈S である。(※S13)

( S13 では G から X への作用を考えたが、これを G から G 自身への作用と見なせばよい )

H={ L|g∈G } とおく。

H の積として写像の合成を採用する。

いま、任意の x∈G に対し、L(x)=L(hx)=ghx=Lgh(x)である。

つまり、L∈H である。

また、L が単位元であり、L−1 が L の逆元となる。

よって、H は S の部分群である。

φ:G→H を φ(g)=L で定義する。

明らかに、φは全射である。

φ(g)=φ(h)とする。

いま、L=L である。

よって、g=L(1)=L(1)=h である。

よって、g は単射である。

また、φ(gh)=Lgh=L=φ(g)φ(h)である。

よって、φは同型写像である。

S16 ( ケイリーの定理〜その2 )

G を有限群とする。

n∈ を G の位数とする。

φ:G→S を G の置換表現とする。

このとき、φは単射な準同型写像である。

補足

ある意味で、S は構造が分かりやすい群である。

よって、G を S で表現することには意味がある。

証明

明らかに、S と S は同型である。(★)

よって、成り立つ。(※S15)

(★)について補足

念のため、もう少し詳しく述べておく。

いま、G には n 個の元がある。

そこで、これらの元に番号 1、・・・、n を付ける。

すると、S の元は S の元を誘導する。

つまり、S と S の間に自然な全単射がある。

明らかに、これは同型写像である。