直和〜その1、直和〜その2

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定義 ( 部分加群の和 )

M を A 加群とする。

、・・・、N を M の A 部分加群とする。

次のように定義する。



明らかに、N+・・・+N は M の A 部分加群である。

+・・・+N を 『 N、・・・、N の和 』 という。

定義 ( 直和〜その1 )

、・・・、M を A 加群とする。

M=M×・・・×M を直積とする。

ここで、(x、・・・、x)、(y、・・・、y)∈M、a∈A に対し、次のような演算を定義する。

(1) (x、・・・、x)+(y、・・・、y)=(x+y、・・・、x+y

(2) a(x、・・・、x)=(ax、・・・、ax

明らかに、この演算によって M は A 加群になる。

このとき、M を 『 M、・・・、M の直和 』 という。

また、M=M□・・・□M と表す。

注意

本来、M□・・・□M は次のように表される。



しかし、レイアウトの都合上、このサイトでは □ を用いることにする。

定義 ( 直和〜その2 )

M を A 加群とする。

、・・・、N を A 部分加群とする。

N=N+・・・+N とおく。

任意の y∈N が一意に y=y+・・・+y ( y∈N ) と表されるとする。

このとき、N を 『 N、・・・、N の直和 』 という。

また、N=N□・・・□N と表す。

参考 ( 重要な注意 )

定義(直和〜その1)、定義(直和〜その2)の違いに注意。

前者は 『 直積 』 であり、後者は 『 和 』 である。

つまり、別の概念を同じ記号で表していることになる。

ゆえに、両者の区別に気を付ける必要がある。

ただし、〜その1、〜その2は同型であることが後で示される。

結局、この2つは同一視できる。

A4 ( 直和〜その2に対する同値条件 )

M を A 加群とする。

、・・・、N を M の A 部分加群とする。

N=N+・・・+N とおく。

このとき、次は同値である。

(1) N=N□・・・□N

(2) y+・・・+y=0 ( y∈N ) ならば、任意の i に対して y=0 である。

(3) (N+・・・+N)∩Ni+1={0} (i=1、・・・、n−1)

(1)⇒(2)の証明

+・・・+y=0 ( y∈N、i=1、・・・、n ) とする。

+・・・+y=0+・・・+0 である。

よって、y=0、・・・、y=0 である。(※定義:直和〜その2)

(2)⇒(1)の証明

N=y+・・・+y ( y∈N ) と表せるとする。

N=y’+・・・+y’ ( y’∈N ) と表せるとする。

いま、(y−y’)+・・・+(y−y’)=0 である。

よって、y−y’=0、・・・、y−y’=0 である。

(2)⇒(3)の証明

x∈(N+・・・+N)∩Ni+1 とおく。

いま、ある y∈N ( k=1、・・・、i+1 ) が存在して、x=y+・・・+y=yi+1 となる。

よって、y+・・・+y+(−yi+1)=0 である。

よって、y=0、・・・、yi+1=0 である。

よって、x=0 である。

(3)⇒(2)の証明

+・・・+y=0 ( y∈N ) とする。

いま、y+・・・+yn−1=−y∈(N+・・・+Nn−1)∩N である。

よって、y+・・・+yn−1=0 かつ y=0 である。

上記の操作を繰り返せば、y=0、・・・、yn−1=0 である。

A5 ( 直和〜その1、直和〜その2 は同型 )

M を A 加群とする。

、・・・、N を M の A 部分加群とする。

△・・・△N を直積集合としての直和とする。

□・・・□N を部分空間としての直和とする。

φ:N△・・・△N→N□・・・□N を φ(x、・・・、x)=x+・・・+x で定義する。

このとき、φは同型写像である。

証明

明らかに、φは準同型である。

明らかに、φは全射である。

φ(x、・・・、x)=x+・・・+x=0 とする。

いま、x=0、・・・、x=0 である。(※A4)

よって、φは単射である。(※A2)