一意分解整域(UFD)、単項イデアル整域(PID)

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定義 ( 約元、倍元 )

R を環とする。

a、b∈R とする。

さらに、ある c∈R が存在して、b=ac となるとする。

このとき、b を 『 a の倍元 』 といい、a を 『 b の約元 』 という。

また、a|b と表す。

また、「 a は b を割り切る 」 という。

定義 ( 公約元、公倍元 )

R を環とする。

d∈R に対して d|a (1≦ i ≦n) であるとき、d を 『 a、・・・、a の公約元 』 という。

d∈R に対して a|d (1≦ i ≦n) であるとき、d を 『 a、・・・、a の公倍元 』 という。

定義 ( 同伴 )

R を整域とする。

a、b∈R とおく。

a≠0、b≠0 であるとする。

ある単元 u が存在して、b=ua となるとする。

このとき、「 a と b は同伴である 」 といい、a〜b と表す。

A18

同伴であるという関係は同値関係である。

証明

明らかである。

むろん、定義(同伴)において R が整域であると仮定したのは、今回の定理が理由である。

A19

R を整域とする。

a、b∈R とする。

このとき、次は同値である。

(1) a|b

(2) (b)⊂(a)

証明

(1)を仮定する。

xb∈(b)とおく。

仮定より、ある c∈R が存在して、b=ca となる。

よって、xb=xca∈(a)である。

以上により、(b)⊂(a)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

明らかに、b∈(b)である。

よって、仮定より、ある y∈R が存在して、b=ya となる。

よって、a|b である。

A20

R を整域とする。

このとき、次は同値である。

(1) a〜b

(2) a|b かつ b|a

(3) (a)=(b)

(1)⇔(2)の証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

いま、ある u∈R が存在して、b=ua となる。

また、ある u∈R が存在して、a=ub となる。

よって、b=ub である。

よって、u=1 である。

よって、u は単元である。

よって、a と b は同伴である。

(2)⇔(3)の証明

明らかである。(※A19)

A21

R を整域とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) a〜b かつ d|a ならば、d|b である。

(2) a〜b かつ a|m ならば、b|m である。

補足

この定理は明らかである。(※A19、20)

しかし、以下では直接的な証明も書いておく。

(1)の証明

a〜b かつ d|a であると仮定する。

いま、ある単元 u が存在して、a=ub となる。

また、ある c∈R が存在して、a=cd となる。

よって、b=u−1cd である。

よって、d|b である。

(2)の証明

a〜b かつ a|m であると仮定する。

いま、ある単元 u が存在して、a=ub となる。

また、ある c∈R が存在して、m=ca となる。

よって、m=cub である。

よって、b|m である。

A22

R を整域とする。

u∈R とする。

このとき、次は同値である。

(1) u は単元である。

(2) u〜1 である。

証明

明らかである。

定義 ( 素元 )

R を整域とする。

p∈R かつ p≠0 であるとする。

(p)は素イデアルであるとする。

このとき、p を 『 素元 』 という。

定義 ( 既約元、可約元 )

R を整域とする。

a∈R かつ a≠0 であるとする。

a は単元ではないとする。

a=bc ならば、b または c が単元であるとする。

このとき、a を 『 既約元 』 という。

既約元でない元を 『 可約元 』 という。

A23

R を整域とする。

このとき、次は同値である。

(1) p∈R は素元である。

(2) p∈R は単元ではない。また、p|ab ならば、p|a または p|bである。(a、b∈R)

証明

(1)を仮定する。

p が単元であるとすると、(p)=Rである。(※代数学:B10)

しかし、これは(p)が素イデアルであることに矛盾する。

よって、p は単元ではない。

p|ab と仮定する。

いま、ある c∈R が存在して、ab=cp となる。

一方、(p)={ xp|x∈R } である。

よって、ab∈(p)である。

いま、(p)は素イデアルである。

よって、a∈(p) または b∈(p)である。(※定義:素イデアル)

よって、a=xp または b=xp である。

よって、p|a または p|b である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。

A24

R を整域とする。

p と q を R の素元とする。

このとき、次は同値である。

(1) p〜q

(2) p|q

証明

(1)を仮定する。

いま、ある単元 u∈R が存在して、p=uq である。

よって、q=u−1p である。

よって、p|q である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、ある c∈R が存在して、q=cp である。

明らかに、q|cp である。

よって、q|c または q|p である。(※A23)

q|c とする。

いま、ある d∈R が存在して、c=qd である。

よって、q=pdq である。

よって、pd=1 である。

よって、p は単元である。

よって、(p)=R である。

よって、p は素元ではない。

これは矛盾である。

よって、q|p である。

よって、p〜q である。(※A20)

A25 ( 既約元という名前の由来 )

R を整域とする。

a∈R かつ a≠0 とする。

このとき、次は同値である。

(1) a は既約元である。

(2) d|a ならば、d〜1 または d〜a である。

証明

(1)を仮定する。

d|a と仮定する。

いま、ある x∈R が存在して、a=xd となる。

a は既約元であるから、x または d が単元である。

x が単元ならば d〜a である。

d が単元ならば d〜1 である。(※A22)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

a=bc とする。( b、c∈R )

つまり、b|a である。

仮定(2)より、b〜1 または b〜a である。

b〜1 ならば b は単元である。(※A22)

一方、b〜a であるとする。

いま、ある単元 x∈R が存在して、b=xa=xbc=xcb である。

よって、xc=1 である。

よって、c は単元である。

以上により、a は既約元である。

A26

整域 R の素元は既約元である。

証明

p を素元とする。

p=ab とする。( a、b∈R )

いま、明らかに、p|ab である。

よって、p|a または p|b である。(※A23)

p|a とする。

いま、ある x∈R が存在して、a=xp である。

よって、p=ab=xpb=xbp である。

p≠0 であるから、xb=1 である。

よって、b は単元である。

同様に、p|b とすると、a は単元である。

以上により、p は既約元である。

A27

R を可換環とする。

a=bc とする。( a、b、c∈R )

このとき、次が成り立つ。

(1) b が単元ならば(a)=(c)である。

(2) b が単元でないならば(a)<(c)である。

補足

むろん、A27(1)の関係は既に何度も用いているのだが、改めてここで証明を与えておこう。

(1)の証明

y∈(a)とおく。

いま、ある x∈R が存在して、y=xa=(xb)c∈(c)である。

よって、(a)⊂(c)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

y∈(c)とおく。

いま、ある x∈R が存在して、y=xc=(xb−1)bc=(xb−1)a∈(a)である。

よって、(c)⊂(a)である。

(2)の証明

(1)と同様に、(a)⊂(c)である。

また、明らかに、c∈(c)である。

c∈(a)と仮定する。(背理法)

いま、ある x∈a が存在して、c=xa=xbc である。

よって、xb=1 である。

しかし、これは b が単元でないという仮定に矛盾する。

よって、c は(a)に属さない。

(1)の別証明

(a)=Ra={ xa|x∈R }={ xbc|x∈R }={ (xb−1)bc|x∈R }={ xc|x∈R }=(c)

参考

ここまでの内容は 『 同伴関係による同値類 』 と 『 イデアル 』 の世界から見ると分かりやすい。

一方、証明の各ステップを追うだけでは全容は視えにくいであろう。

単に証明を追うだけではなく、同値類やイデアルの世界を意識することが重要である。

例えば、A26 は A27 の視点に立つことで次のように理解できる。

まず、p が素元であることは 「 p|ab ⇒ p|a または p|b 」 を意味する。

つまり、(ab)⊂(p) ⇒ (a)⊂(p) または (b)⊂(p) である。(※A27)(★1)

また、p が既約元であることは 「 p=ab ⇒ a または b が単元である 」 を意味する。

つまり、(ab)=(p) ⇒ (a)=(p) または (b)=(p) である。(※A27)(★2)

明らかに、(★1)⇒(★2)である。(※A27(2))

定義 ( 一意分解整域:UFD )

R を整域とする。

任意の a∈R ( ただし a≠0 ) に対して、次の(1)または(2)が成り立つとする。

(1) a は単元である。

(2) 有限個の素元 p、・・・、p が存在して、a=p・・・p となる。

このとき、R を 『 一意分解整域(UFD)』 という。

また、(2)において、a=p・・・p を 『 a の素元分解 』 という。

定義 ( 最大公約元、最大公倍元 )

R を一意分解整域とする。

R の素元全体を同伴という関係によって類別する。

{pλ}を同伴な素元から代表元を選んでできる集合とする。

( つまり、各pλは互いには同伴ではない )

いま、a、b∈R ( a≠0、b≠0 ) に対し、ある単元 u、v∈R が存在して、次のように表せる。



( ただし、λとμは有限個である )

( Πは積を意味する )

ここで、次のようにおく。



さらに、d、m を次のように定義する。



このとき、d を 『 a、b の最大公約元 』 という。

また、m を 『 a、b の最小公倍元 』 という。

同様に、複数の元 a、・・・、a∈R に対しても最大公約元、最小公倍元を定義する。

、・・・、a の最大公約元を GCD(a、・・・、a)と表す。

、・・・、a の最小公倍元を LCM(a、・・・、a)と表す。

これは中学・高校でよく知られている最大公約数、最小公倍数と本質的に同じである。

そのことを以下で確認していこう。

参考

R= とする。

このとき、4 と 6 の最大公約元は 2、−2 である。

また、4 と 6 の最小公倍数は 12、−12 である。

証明

まず、4=2・3、6=2・3 である。

いま、f=min{2、1}、f=min{0、1}である。

また、g=max{2、1}、g=max{0、1}である。

また、d〜2・3、m〜2・3 である。

よって、d〜2、m〜12 である。

一方、 の単元は 1、−1 のみである。

よって、d=2、−2であり、m=12、−12 である。

このように、最大公約元(最小公倍元)は複数存在し得るのだが、それぞれ互いに同伴である。

A28

R を整域とする。

{pλ}を同伴な素元から代表元を選んでできる集合とする。

( つまり、各 pλは同伴ではない )

a、b∈R ( a≠0、b≠0 ) がある単元 u、v∈R を用いて、次の形で表されたとする。



( ただし、λとμは有限個 )

このとき、次は同値である。

(1) b|a

(2) 任意のλに対して、nλ≦mλ である。また、μ全体がλ全体に含まれる。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある x∈R が存在して、a=bx となる。

よって、



式変形して、



両辺の pλを消去する。(※代数学:B4)

消去できる pλを全て消去した後で、まだ右辺にある pμが残っているとする。(背理法)

この pμは左辺に残る pλと同伴ではない。(★)

また、この pμは左辺を割り切る。

μは素元であるから、どれか1つの pλを割り切る。(※A23)

よって、pμはどれか1つの pλと同伴である。(※A24)

しかし、これは(★)と矛盾する。

よって、右辺に pμは残らない。

これは任意のλに対して、nλ≦mλであることを意味する。

また、μ全体がλ全体に含まれていることも意味する。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。

A29

R を一意分解整域とする。

d を a、b の最大公約元とする。

m を a、b の最小公倍元とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) c|a かつ c|b ならば、c|d である。

(2) a|c かつ b|c ならば、m|c である。

証明

明らかである。(※A28)

定義 ( 互いに素 )

R を一意分解整域とする。

a、b∈R の最大公約元が単位元と同伴であるとする。

( つまり、単元であるとする )

このとき、「 a と b は互いに素である 」 という。

参考

R= とする。

このとき、5 と 7 は互いに素である。

証明

5=5・7、7=5・7 である。

いま、f=min{1、0}、f=min{0、1}である。

また、最大公約元を d とすると、d〜5・7 である。

よって、d〜1である。

よって、5 と 7 は互いに素である。

A30 ( 素元分解の一意性 )

R を整域とすうr。

a∈R とおく。

a=p・・・p=q・・・q と2通りの素元分解が得られたとする。

このとき、n=m が成り立つ。

また、q を適切に並べ替えると各 p と q が同伴となる。

証明

いま、p・・・p=q・・・q である。

よって、q・・・q∈(p)である。

(p)は素イデアルであるから、q・・・q のどれかは(p)に属する。

ここで、q∈(p)と仮定しても一般性を失わない。

=u とする。

いま、q は既約元である。(※A26)

よって、u または p は単元である。

は既約元であるから単元ではない。

よって、u は単元である。

いま、p・・・p=p・・・q である。

よって、p・・・p=u・・・q である。(※代数学:B4)

n>1 ならば左辺は単元でないから右辺も単元でない。

よって、m>1 である。

=q’とおくと、q’も素元である。(※A20、定義:素元)

これを帰納的に繰り返せば n=m が得られる。

よって、各 p と q が同伴となる。

A31

R を一意分解整域とする。

このとき、素元と既約元は同値である。

証明

素元が既約元であることは既に示した。(※A26)

p∈R を既約元とする。

p は単元でない。(※定義:既約元)

よって、ある素元 p、・・・、p が存在して、p=p・・・p となる。(※定義:UFD)

n≧2 と仮定する。(背理法)

q=p・・・p とおくと、p=pq である。

p は既約元であるから、p または q が単元である。

が単元であるとすると、p が素元であることに矛盾する。(※A23)

よって、q は単元である。

よって、(q)=R である。(※代数学:B10)

一方、(q)⊂(p)<R である。(※A19)

これは矛盾である。

よって、n=1 である。

よって、p は素元である。

定義 ( 単項イデアル整域:PID )

整域 R の任意のイデアルが単項イデアルであるとする。

このとき、R を 『 単項イデアル整域(PID)』 という。

定義 ( ユークリッド整域 )

R を整域とする。

φ:R−{0}→ を写像とする。

任意の a、b∈R ( ただし b≠0 ) に対し、次が成り立つとする。

(*1) ある q、r∈R が存在して、a=qb+r となるとする。

(*2) r=0 または φ(r)<φ(b)である。

このとき、R を 『 ユークリッド整域 』 という。

A32 ( ユークリッド整域 ⇒ PID )

ユークリッド整域は単項イデアル整域である。

証明

R をユークリッド整域とする。

φ:R−{0}→ を定義(ユークリッド整域)の条件を満たす写像とする。

I を R のイデアルとする。

( I が単項イデアルになることを示す )

I=(0)の場合はもちろん I は単項イデアルである。

そこで、I≠(0)としてよい。

いま、ある x∈I が存在して、次を満たす。

(*1) x≠0

(*2) φ(x)=min{φ(y)|y∈I、y≠0 }

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

z∈I とおく。

いま、ある q、r∈R が存在して、z=qx+r となる。

仮定より、r=0 またはφ(r)<φ(x)である。

z、qx∈I であるから、r=z−qx∈I である。

r≠0 とすると、φ(r)<φ(x)であるが、これは(*2)に矛盾する。

よって、r=0 である。

よって、z=qx∈(x)である。

以上により、I⊂(x)である。

一方、明らかに、(x)⊂I である。

よって、I=(x)である。

注意 ( イデアルの和・積 )

R を環とする。

I、J を R のイデアルとする。

イデアル I、J の和と積を次のように定義する。

(1) I+J={ x+y|x∈I、y∈J }

(2) IJ={ xy|x∈I、y∈J }

明らかに、I+J、IJ はイデアルである。

また、I∩J がイデアルであることも明らかであろう。

A33 ( PID ⇒ UFD )

単項イデアル整域は一意分解整域である。

証明

R を単項イデアル整域とする。

r≠0 を R の既約元とする。

ある a、b∈R が存在して、次を満たすとする。

(*1) ab は (r) に属する。

(*2) a は (r) に属さない。

いま、ある c∈R が存在して、(a)+(r)=(c)となる。

明らかに、(r)⊂(c) かつ a∈(c)である。

よって、(*2)より、(r)<(c)である。(★1)

また、ある r’∈R が存在して、r=r’c となる。

r は既約元であるから、r’または c が単元である。

r’が単元であると仮定すると、(r)=(c)である。(※A27)

しかし、これは(★1)に矛盾する。

よって、c が単元である。

よって、(c)=R である。(※代数学:B10)

よって、(a)+(r)=R である。

よって、ある x、y∈R が存在して、ax+ry=1 となる。

両辺に b をかけると、abx+bry=b である。

(*1)より、abx∈(r)である。

また、明らかに、bry∈(r)である。

よって、b=abx+bry∈(r)である。

以上により、



同様に、



つまり、ab∈(r)ならば、a∈(r) または b∈(r) である。

つまり、(r)は素イデアルである。

つまり、r は素元である。

以上により、R の既約元は素元である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

r∈R かつ r≠0 とする。

r は単元でないとする。

r は有限個の既約元の積では表せないとする。(背理法)

いま、むろん、r は1個の既約元の積でも表せないので、r は既約元ではない。

そこで、単元でない a、r∈R が存在して、r=a となる。

いま、a と r のうち少なくとも一方は有限個の既約元の積で表せない。

と r の順番は交換できるから、r が有限個の既約元の積で表せないとしてよい。

は単元ではないので、(r)<(r)である。(※A27)

これを繰り返すと、R の元の無限列 (r)<(r)<(r)<・・・ が得られる。

r=r とおいて、(r)<(r)<(r)<・・・ とする。

ここで、I=∪0≦i≦n(r) おく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( I がイデアルであることを示す )

明らかに、0∈I である。

x、y∈I とおく。

いま、ある i が存在して、x、y∈(r)となる。

よって、x−y∈(r)⊂I である。

同様に、x∈I かつ r∈R ならば rx∈I である。

以上により、I はイデアルである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

R は単項イデアルであるから、ある a∈R が存在して、I=(a)となる。

明らかに、a∈(a)=I である。

よって、ある i が存在して、a∈(r)となる。

よって、I=(a)⊂(r)<(ri+1)⊂I となって矛盾である。

以上により、R における単元でない元は有限個の既約元の積で表せる。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★2)、(★3)より、R における単元でない元は有限個の素元の積で表せる。

よって、R は一意分解整域である。

A34

R を単項イデアル整域とする。

このとき、(0)以外の素イデアルは極大イデアルである。

補足

既に、これの逆は示した。(※A16)

証明

を(0)でない素イデアルとする。

R は単項イデアルであるから、ある p∈R が存在して、=(p)となる。

いま、p は素元である。

(p)⊂(q)<R と仮定する。

いま、ある u∈R が存在して、p=uq となる。

p は素元であるから、既約元である。(※Z26)

(q)≠R であるから、q は単元ではない。

よって、u は単元である。(※定義:既約元)

よって、(p)=(q)である。(※A27)

以上により、(p)は極大イデアルである。

A35

有理整数環 に対して、次が成り立つ。

(1)  はユークリッド整域である。

(2)  のイデアル I=(a、・・・、a)に対し、GCD(a、・・・、a)=d(>0)とすると、I=(d)である。

(3) a、a は互いに素ならば、ある m、m が存在して、m+m=1となる。

(1)の証明

φ:−{0}→ を φ(n)=|n|で定義する。

このφが定義(ユークリッド整域)の条件を満たしていることを示せばよい。

a、b∈ とおき、b≠0 とする。

いま、ある q、r∈ が存在して、a=qb+r ( 0≦ r <b ) となる。(※A1:剰余定理)

0≦ r <b であるから、|r|<|b|である。

よって、φ(r)<φ(b)である。

(2)の証明

(1)より、 は単項イデアル整域である。(※A32)

よって、ある b∈ ( b>0 ) が存在して、I=(b)となる。

よって、ある r、・・・、r が存在して、b=r+・・・+r である。

よって、d|bである。

一方、a∈I=(b)より、b|a である。

よって、b|d である。(※A29)

よって、(b)=(d)である。(※A20)

よって、I=(d)である。

(3)の証明

(2)より、(a、a)=(1)である。

つまり、(a、a)= である。

よって、ある m、m が存在して、m+m=1 となる。

A36

K を体とする。

K[x] を K 上の1変数多項式環とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) K[x] はユークリッド整域である。

(2) K[x] のイデアル I=(f(x)、・・・、f(x))に対し、GCD(f(x)、・・・、f(x))=d(x)とすると、I=(d(x))である。

(3) f(x)、f(x)∈K[x] は互いに素ならば、ある g、g∈K[x]が存在して、g+g=1となる。

(1)の証明

φ:K[x]−{0}→ をφ(f(x))=degf(x) で定義する。

このφが定義(ユークリッド整域)を満たしていることを示せばよい。

f(x)、g(x)∈K[x] とおき、g(x)≠0 とする。

いま、ある q、r∈K[x] が存在して、f(x)=qg(x)+r (degr<degg) となる。(※A4)

よって、φ(r)<φ(g(x))である。

(2)の証明

A35(2)と同様である。

(3)の証明

A35(3)と同様である。

A37 ( まとめ1 )

ユークリッド整域 ⇒ 単項イデアル整域 ⇒ 一意分解整域 である。

証明

明らかである。(※A32、33)

A38 ( まとめ2 )

K を体とする。

K[x] を K 上の1変数多項式環とする。

f(x)∈K[x] について、次は同値である。

(1) f(x)は素元である。

(2) f(x)は既約元である。

(3) (f(x))=f(x)K[x] は素イデアルである。

(4) (f(x))=f(x)K[x] は極大イデアルである。

(5) K[x]/(f(x))は整域である。

(6) K[x]/(f(x))は体である。

証明

(1)⇔(2)は明らかである。(※A33、32、31、36)

(3)⇔(4)⇔(5)⇔(6)は明らかである。(※A34、16、14、15)

(1)⇔(3)は明らかである。(※定義:素元)

A39 ( まとめ3 )

有理整数環 について、次は同値である。

(1) p は素数である。

(2) (p)=p は素イデアルである。

(3) (p)=p は極大イデアルである。

(4) /(p)は整域である。

(5) /(p)は体である。

証明

明らかである。(※A38)