well-definedの説明

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参考 ( 問題提起 )

X、Y、Z を集合とする。

X={a、b、c}とする。

a、b、c は互いに異なる元であるとする。

f:X→Z を写像とする。

つまり、Imf={f(a)、f(b)、f(c)}である。

ただし、f(a)、f(b)、f(c)は異なる元であるとする。(重要)

π:X→Y は全射であるとする。

つまり、Y={π(a)、π(b)、π(c)}である。

φ:Y→Z をφ(π(x))=f(x)で定義する。

しかし、この定義は不適切である。

例えば、実はπ(a)=π(b)であるとしたら?

いま、φ(π(a))=f(a) かつ φ(π(a))=φ(π(b))=f(b)である。

つまり、f(a)=f(b)である。

しかし、仮定より、f(a)≠f(b)である。

これは矛盾である。

そこで、このような間違った定義をしないように、well-defined という概念を導入する。

S1 ( well-defined )

X、Y、Z を集合とする。

f:X→Z を写像とする。

π:X→Y を全射とする。

このとき、次は同値である。

(1) ある写像φ:Y→Z が存在して、f=φ*πとなる。

(2) x、x’∈X に対し、「 π(x)=π(x’) ⇒ f(x)=f(x’) 」 である。

また、(1)や(2)が満たされているとき、f=φ*πを満たす写像φは一意である。

このとき、「 φは well-defined である 」 という。

また、φを 『 f によって引き起こされた写像 』 という。

補足

つまり、条件(2)が成り立つことを確認してから写像φを定義すれば安心である。

一方、最初の問題提起で定義した写像φは、条件(2)を満たしていない。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

π(x)=π(x’)とする。

いま、f(x)=φ(π(x))=φ(π(x’))=f(x’)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

y∈Y とおく。

πは全射であるから、ある x∈X が存在して、y=π(x)となる。

仮定(2)より、y=π(x)に対して、f(x)は一意に定まる。

φ:Y→Z をφ(y)=f(x)で定義する。

いま、f=φ*πである。

証明(φの一意性)

仮定(1)によって、f=φ*πとなるようなφが存在する。

y∈Y とおく。

πは全射であるから、ある x∈X が存在して、y=π(x)となる。

いま、φ(y)=φ(π(x))=φ*π(x)=f(x)である。

仮定(2)より、φ(y)は一意に定まる。

よって、写像φは一意である。