自由加群、rank

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定義 ( 1次独立〜その1 )

M を A 加群とする。

B を M の有限部分集合とする。

B={ x、・・・、x } とおく。

次が成り立つとする。

(*) a+・・・+a=0 ( a∈A ) ⇒ a=0、・・・、a=0

このとき、「 B は A 上で1次独立である 」 という。

定義 ( 1次独立〜その2 )

M を A 加群とする。

B を M の無限部分集合とする。

B の任意の有限部分集合が A 上で1次独立であるとする。

このとき、「 B は A 上で1次独立である 」 という。

定義 ( 部分加群の生成 )

M を A 加群とする。

S を M の部分集合とする。

S を含むような M の A 部分加群全体の共通部分を [S] と表す。

明らかに、[S] は M の A 部分加群である。

[S] を 『 Sで生成された A 部分加群 』 という。

つまり、[S] は S を含む最小の A 部分加群である。

A6

M を A 加群とする。

S を M の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

右辺を T とおく。

明らかに、T⊂[S] である。

一方、T は A 部分加群である。

また、T は S を含む。

よって、[S]⊂T である。(※[S] の最小性 )

定義 ( 自由加群 )

M を A 加群とする。

ある B⊂M が存在して、B は A 上で1次独立であり、M を生成するとする。

このとき、M を 『 自由 A 加群 』 という。

B を 『 M の基底 』 という。

A7

M を自由 A 加群とする。

B={ xλ|λ∈J } を M の基底とする。

このとき、任意の x∈M は x=λ∈Jλλ ( aλ∈A )と表せる。

また、この表示は一意である。

ただし、aλ≠0 となるλは有限個である。

証明

いま、x=有限和λλ の形で表せる。(※定義:自由加群)

2通りの表示、有限和λλ有限和λλ があるとする。

いま、有限和(aλ−bλ)xλ =0 である。

よって、aλ−bλ=0 である。(※定義:自由加群、1次独立)

定義 ( 標準基底 )

A を環とする。

M=A□・・・□A を A の n 個の直和とする。(★)

∈M を第 i 成分が1、その他の成分が 0 の元であるとする。

明らかに、{ e、・・・、e } は M の基底である。

この基底を 『 標準基底 』 という。

また、M を A と表す。

明らかに、A は自由 A 加群である。

(★)について補足

「 環の直和とは何であろうか?」 と疑問に思う人がいるかもしれない。

まず、A は加法群であることに注意する。

いま、A から A への作用を考えることにより、A自身をA加群とみることができる。

よって、定義(直和〜その1)を適用できる。

A8

A を環とする。

M を自由 A 加群とする。

M は n 個の元からなる基底をもつとする。

このとき、M と A は同型である。

証明

{ e、・・・、e } を A の標準基底とする。

{ x、・・・、x } を M の基底とする。

φ:A→M を φ(1≦i≦n)=1≦i≦n ( a∈A ) で定義する。

明らかに、φは準同型である。

明らかに、φは全射である。

明らかに、φは単射である。

よって、φは同型写像である。

A9 ( 可換環ならば基底に含まれる元の個数は一定 )

A を可換環とする。

M を有限生成な自由 A 加群とする。

このとき、M の任意の基底は有限集合である。

また、その元の個数は一定である。

補足

A が非可換環の場合、この定理が成り立つとは限らない。

証明

A が m 個の元からなる基底と、n 個の元からなる基底をもつとする。

いま、M と A は同型である。(※A8)

また、M と A は同型である。(※A8)

よって、A と A は同型である。

p を A の極大イデアルとする。

いま、A/p は体である。(※続・代数学)

φ:A→(A/p) を φ(r、・・・、r)=([r]、・・・、[r]) で定義する。

明らかに、φは準同型である。

明らかに、φは全射である。

また、Kerφ=Ap である。

よって、A/(Ap)=(A/p) である。(※準同型定理)

同様に、A/(Ap)=(A/p) である。

いま、A と A は同型である。

よって、(A/p)と(A/p) は同型である。

分かりやすくするため、K=A/p とおく。

いま、K と K は同型である。

しかも、K は体である。

よって、m=n である。

( K と K が同型ならば m=n となることは線形代数でよく知られている)

定義 ( rank )

A を環とする。

M を自由 A 加群とする。

このとき、M の基底に含まれる元の個数を 『 ランク(または階数)』 という。

これを rankM と表す。

M が零加群の場合は rankM=0 と定義する。

M が無限集合の場合は rankM=∞ と定義する。

M がベクトル空間の場合は、rankM を dimM と表す。

A10

A を環とする。

M、M’を自由 A 加群とする。

rankM=n、rankM’=n’とする。

このとき、次は同値である。

(1) M と M’は同型である。

(2) n=n’

証明

明らかである。(※A8、A9)