剰余定理

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A1 ( 剰余定理 )

a、b を整数とする。( ただし b>0 とする )

このとき、ある整数 q、r が一意に存在して、次の(*)を満たす。

(*) a=bq+r ( 0≦r<b )

補足

つまり、この定理は 『 割り算 』 を見直しているのである。

割り算をすると、商と余りが一意に定まることは経験的によく知られている。

しかし、これを証明するとなると意外に面倒である。

補足

この定理の証明は読まなくてもよい。

後の理解に直接の影響はないからである。

証明

まず、(*)を満たす整数 q、r が存在することを示す。

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0≦a の場合について考える。

帰納法で示す。

0≦a<b とする。

いま、a=b・0+a ( 0≦a<b ) である。

ここで、0=q、a=r とすれば、(*)が満たされる。

b≦a とする。

0≦a’<a を満たす整数 a’ に対して定理が成り立つと仮定する。

いま、0≦a−b<a である。

よって、ある整数 q’、r’が存在して、a−b=bq’+r’ ( 0≦r’<b ) となる。

つまり、a=b(q’+1)+r’ ( 0≦r’<b ) である。

ここで、q’+1=q、r’=r とすれば、(*)が満たされる。

以上により、0≦a のとき、(*)が満たされることが示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

a<0 の場合について考える。

いま、−a>0 である。

−a は正整数なので、上の結果を用いることができる。

つまり、ある整数 q’、r’が存在して、−a=bq’’+r’’ ( 0≦r’’<b ) となる。

つまり、a=b(−q’’)+(−r’’) ( 0≦r’’<b ) である。

( 上の式は(*)と同じ形をしているが、−r’’≦0 なので、まだ(*)を満たしているとは言えない )

まず、r’’=0 の場合を考える。

いま、a=b(−q’’)+0 である。

ここで、−q’’=q、0=r とすれば(*)が満たされる。

次に、0<r’’<b の場合を考える。

いま、a=b(−q’’−1)+(b−r’’) ( 0≦b−r’’<b ) である。

ここで、−q’’−1=q、b−r’’=r とすれば(*)が満たされる。

以上により、a<0 のとき、(*)が満たされることが示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、任意の整数 a と b(>0)に対して、(*)を満たす整数 q、r が存在することが示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、q、r の一意性を示す。

ある整数 q、r が存在して、a=bq+r ( 0≦r<b ) となるとする。

ある整数 q、r が存在して、a=bq+r ( 0≦r<b ) となるとする。

辺々を引いて式を整理すると、b(q−q)=−(r−r) である。(★)

ここで、q>q と仮定する。

いま、b(q−q)≧b かつ −(r−r)<b である。

しかし、これは(★)と矛盾する。

同様に、q<q と仮定しても矛盾が生じる。

よって、q=q かつ r=r である。

これは q、r が一意であることを意味している。