剰余環

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定義 ( 単項イデアル )

R を環とする。

1つの元 s∈R によって生成される左イデアル (s) を 『 単項左イデアル 』 という。

ただし、これを単に 『 単項イデアル 』 と呼ぶことも多い。

明らかに、(s)=Rs である。

B12

R を環とする。

I を R のイデアルとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) I は加法に関して正規部分群である。

(2) 加法に関する剰余群 R/I はアーベル群である。

補足

とくに、(2)において剰余群 R/I の演算を明示すると、次のようになる。(※A16)

(*) (x+I)+(y+I)=(x+y)+I

(1)の証明

いま、I は加法に関して R の部分群である。(※定義:イデアル)

また、R は加法に関してアーベル群である。(※定義:環)

x∈R とおき、y∈I とおく。

いま、x+y+(−x)=x+(−x)+y=y∈I である。

つまり、x+I+(−x)⊂I である。

よって、I は正規部分群である。(※A13)

(2)の証明

R は加法に関してアーベル群である。(※定義:環)

よって、加法に関して剰余群 R/I はアーベル群である。(※A17)

B13

R を環とする。

I を R のイデアルとする。

φ:R/I×R/I→R/I をφ(x+I、y+I)=xy+I で定義する。

このとき、φは well-defined である。

補足

φは次の演算を意味する。

(*) (x+I)(y+I)=xy+I

証明

x’∈x+I とおき、y’∈y+I とおく。

いま、ある a、b∈I が存在して、x’=x+a、y’=y+b となる。

また、x’y’=(x+a)(y+b)=xy+xb+ya+ab である。

I はイデアルであるから、xb、ya、ab∈ I である。

よって、x’y’∈xy+I である。

つまり、x’y’+I =xy+I である。

よって、この演算は well-defined である。

B14 ( 剰余環 )

R を環とする。

I を R のイデアルとする。

ここまでの議論により、R/I に対して次のような演算が定義できる。(※B12、13)

(*1) (x+I)+(y+I)=(x+y)+I

(*2) (x+I)(y+I)=xy+I

このとき、R/I は上の加法(*1)と乗法(*2)に関して環である。

環 R/I を 『 R の I による剰余環 』 という。

証明

R/I が加法に関してアーベル群であることは既に示した。(※B12)

また、



よって、積に関して結合則が成り立つ。

また、



よって、分配則が成り立つ。

以上により、定義(環)の(1)〜(3)が示された。

B15

B14 において、R が単位元1をもつとする。

このとき、R/I も単位元をもつ。

証明

1+I が R/I の単位元である。

実際、(a+I)(1+I)=a1+I=a+I である。

参考 ( 重要例 )

有理整数環 を考える。

m を整数とする。

明らかに、m のイデアルである。

よって、/m は剰余環である。

つまり、加法と乗法が次のように定義される。

(1) (a+m)+(b+m)=(a+b)+m

(2) (a+m)(b+m)=ab+m

第1章で扱ったように、/m={ [0]、・・・、[m−1] } である。

そこで、上式は次のように表せる。

(*1) [a]+[b]=[a+b]

(*2) [a][b]=[ab]

このとき、零元は [0] であり、単位元は [1] である。