剰余群の重要な例

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復習 ( 群の位数 )

群 G に属する元の個数を 『 G の位数 』 といい、|G|と表す。

位数が有限な群を 『 有限群 』 といい、有限でない群を 『 無限群 』 という。

定義 ( 元の位数 )

G を群とする。

x∈G とする。

ある正の整数 n が存在して、x=e となるとする。

このとき、その中で最小の整数を 『 x の位数 』 といい、ord(x) と表す。

=e となる正の整数が存在しない場合、ord(x)=∞ と表す。

定義 ( 巡回群 )

1つの元から生成される群を 『 巡回群 』 という。

巡回群 G が a によって生成されるとき、a を 『 G の生成元 』 という。

つまり、G=<a> であるとき、a を 『 G の生成元 』 という。

明らかに、次は同値である。

(1) G が巡回群である。

(2) ある元 a∈G が存在して、G=<a> である。

(3) ある元 a∈G が存在して、G={ a|n∈ }である。

定義 ( 生成 )

S を群 G の部分集合とする。

S を含む最小の部分群を <S> と表す。

<S> を 『 Sから生成される部分群 』 という。

S を 『 <S>の生成系 』 という。

つまり、S を含む任意の部分群 A⊂G に対し、<S>⊂A である。

参考 ( 重要例 )

m を自然数とする。

を加法群とする。

={ mx|x∈ } と定義する。

いま、m の正規部分群である。(※A17)

そこで、剰余群 /m を考える。

a∈ が属する同値類を [a] と表す。

つまり、a+mZ=[a] である。(★)

このとき、次が成り立つ。

(1) a、b∈ に対し、[a]+[b]=[a+b] である。

(2) /m={ [0]、・・・、[m−1] }

(3) /m は位数 m の巡回群であり、[1] は生成元である。

(★)について補足

今回は群の演算を和で表しているので、混乱する人がいるかもしれない。

a+m というのは、いままでの aN と同じことである。

(1)の証明

いま、 を加法群として考えていることに注意する。

すると、剰余群 /m の演算は次のように表せる。

(*) (a+m)+(b+m)=(a+b)+m

つまり、[a]+[b]=[a+b] である。

(2)の証明

これは明らかである。

m=3 とおいて意味を確認してみよう。



しかも、[0]、[1]、[2] は互いに共通部分をもたない。

つまり、 は [0]、[1]、[2] の直和である。

よって、/3={ [0]、[1]、[2] } である。

(3)の証明

これは明らかである。

m=3 とおいて意味を確認してみよう。

/3 の元は、[1] と [1]+[1]=[2] と [1]+[1]+[1]=[0] で表せる。

よって、/3 は位数 3 の巡回群であり、[1] は生成元である。