群の準同型定理

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定義 ( 準同型、同型 )

G、G’を群とする。

f:G→G’を写像とする。

任意の x、y∈G に対し、f(xy)=f(x)f(y)であるとする。

このとき、f を 『 準同型写像 』 という。

準同型写像が全単射であるとき、これを 『 同型写像 』 という。

G、G’の間に同型写像が存在するとき、「 G と G’は同型である 」 という。

つまり、準同型写像は演算を保存する。

G、G’の演算は一般に同じではないことに注意しよう。

例えば、G の演算を 『・』 とし、G’の演算を 『*』 とすれば、f(x・y)=f(x)*f(y)である。

準同型写像は線形代数の線形写像に相当する。

実際、G を加法群とすれば、f(xy)=f(x)f(y) は f(x+y)=f(x)+f(y) と表される。

これは線形写像の定義で見慣れた式であろう。

定義 ( 核、像 )

G、G’を群とする。

e’を G’の単位元とする。

f:G→G’を準同型写像とする。

このとき、Kerf={ x∈G|f(x)=e’}を 『 f の核 』 という。

また、Imf={ f(x)|x∈G }を 『 f の像 』 という。

A18

G、G’を群とする。

e を G の単位元とし、e’を G’の単位元とする。

f:G→G’を準同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f(e)=e’

(2) 任意の x∈G に対し、f(x−1)=f(x)−1 である。

(1)の証明

f(e)=f(ee)=f(e)f(e)である。

G’は群であるから、f(e)∈G’の逆元 f(e)−1∈G’が存在する。

よって、上式の両辺に左から f(e)−1 をかけると、e’=f(e)である。

(2)の証明

x∈G とおく。

いま、xx−1=e である。

よって、f(xx−1)=f(e)である。

(1)より、f(x)f(x−1)=f(xx−1)=f(e)=e’である。

同様に、f(x−1)f(x)=f(x−1x)=f(e)=e’である。

上の2式は f(x)の逆元が f(x−1)であることを意味する。

つまり、f(x)−1=f(x−1)である。

A19 ( 部分群や正規部分群は逆像に遺伝する )

f:G→G’を群の準同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) H’が G’の部分群ならば、f−1(H’)は G の部分群である。

(2) N’が G’の正規部分群ならば、f−1(N’)は G の正規部分群である。

(1)の証明

x、y∈ f−1(H’)とおく。

いま、f(x)、f(y)∈H’である。

よって、f(x)f(y)−1∈H’である。(※A6)

よって、f(xy−1)=f(x)f(y−1)=f(x)f(y)−1∈H’である。(※A18)

よって、xy−1∈ f−1(H’)である。

以上により、f−1(H’)は G の部分群である。(※A5)

(2)の証明

(1)より、f−1(N’)は部分群である。

x∈G とおき、y∈ f−1(N’)とおく。

いま、f(y)∈N’である。

よって、f(x)f(y)f(x)−1∈N’である。(※A13)

一方、f(xyx−1)=f(x)f(y)f(x−1)=f(x)f(y)f(x)−1 である。(※A18)

よって、f(xyx−1)∈N’である。

よって、xyx−1∈ f−1(N’)である。

以上により、任意の x∈G、y∈f−1(N’)に対し、xyx−1∈f−1(N’)である。

つまり、任意の x∈G に対し、x(f−1(N’))x−1⊂f−1(N’)である。

よって、f−1(N’) は G の正規部分群である。(※A13)

A20

G、G’を群とする。

f:G→G’を準同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Kerf は G の正規部分群である。

(2) Imf は G’の部分群である。

(1)の証明

明らかに、{e’} は G’の部分群である。

x’∈G’とおく。

いま、x’e’(x’)−1=x’(x’)−1=e’∈{e’}である。

よって、{e’} は G’の正規部分群である。(※A13)

よって、Kerf=f−1{e’} は G の正規部分群である。(※A19)

(2)の証明

いま、e’∈Imf である。(※A18)

よって、Imf は空ではない。

x’、y’∈Imf とおく。

いま、ある x、y∈G が存在して、f(x)=x’、f(y)=y’となる。

f は準同型写像であるから、x’y’=f(x)f(y)=f(xy)∈Imf である。(★1)

改めて、x’∈Imf とおく。

いま、ある x∈G が存在して、f(x)=x’となる。

よって、(x’)−1=f(x)−1=f(x−1)∈Imf である。(※A18)(★2)

(★1)、(★2)より、Imf は G の部分群である。(※A5)

A21 ( 自然な準同型写像 )

N を群 G の正規部分群とする。

π:G→G/N をπ(x)=xN で定義する。

このとき、πは全射な準同型写像である。

このようなπを 『 自然な準同型写像 』 という。

証明

x、y∈G とおく。

既に定義したように、剰余群 G/N の演算は、xN・yN=xyN である。(※A16)

よって、π(xy)=xyN=xNyN=π(x)π(y)である。

よって、πは群 G から剰余群 G/N への準同型写像である。

また、πの定義より、明らかにπは全射である。

A22 ( 単射 ⇔ Kerf={e} )

G、G’を群とする。

f:G→G’を準同型写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は単射である。

(2) Kerf={e}である。

証明

(1)を仮定する。

x∈Kerf とおく。

いま、f(x)=e’である。

一方、f(e)=e’である。(※A18)

よって、f(x)=f(e)である。

f は単射であるから、x=e である。

よって、Kerf={e}である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x、y∈G とおく。

f(x)=f(y)と仮定する。

上式の両辺に右側から f(y)−1∈G’をかけると、f(x)f(y)−1=e’である。

よって、f(x)f(y−1)=e’である。(※A18)

よって、f(xy−1)=e’である。(※定義:準同型写像)

よって、仮定より、xy−1=e である。

よって、x=y である。

A23 ( 群の準同型定理 )

G、G’を群とする。

f:G→G’を準同型写像とする。

π:G→G/Kerf を自然な準同型写像とする。

このとき、ある準同型写像φ:G/Kerf→G’が一意に存在して、φ*π=f となる。

つまり、G/Kerf と Imf は(群として)同型である。

補足

A23より、Kerf は正規部分群であるから、G/Kerf は剰余群であることが分かる。

だから、上記のように準同型写像φを定義できるのである。

証明

π(x)=π(y)と仮定する。

いま、xKerf=yKerf である。

よって、x∈yKerf である。(※A8)

よって、ある k∈Kerf が存在して、x=yk となる。

よって、f(x)=f(yk)=f(y)f(k)=f(y)e’=f(y)である。

以上により、π(x)=π(y) ⇒ f(x)=f(y) である。

よって、φ:G/Kerf→Imf をφ(xKerf)=f(x)で定義できる。(※S1:well-defined)

つまり、f=φ*πであり、φが一意に存在する。(※S1:well-defined)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、次が成り立つ。(※A16)



よって、φは準同型写像である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ(xKerf)=e’とする。

いま、f(x)=e’である。

よって、x∈Kerf である。

よって、xKerf=Kerf である。(※A9)

以上により、Kerφ={Kerf}である。

また、Kerf は G/Kerf の単位元である。(※A16の証明の中)

以上により、φは単射である。(※A22)

一方、明らかに、φは全射である。

つまり、φは全単射である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、φは G/Kerf から Imf への同型写像である。

A24

f:G→G’を全射な準同型写像とする。

N’を G’の正規部分群とする。

−1(N’)=N とおく。

このとき、G/N と G’/N’は同型である。

補足

−1(N’)=N は G の正規部分群である。(※A19)

だから、剰余群 G/N を考えることができる。

証明

π’:G’→G’/N’を自然な準同型写像とする。

つまり、π’(x)=xN’である。

明らかに、π’は全射である。

f は全射で、π’は全射であるから、π’*f も全射である。

π’*f:G→G’/N’であるから、Im(π’*f)=G’/N’である。(★1)

一方、N’は G’/N’の単位元である。(※A16の証明の中)

よって、Ker(π’*f)=f−1(N’)である。

よって、Ker(π’*f)=N である。(★2)

また、f とπ’は準同型写像であるから、π’*f も準同型写像である。

よって、G/Ker(π’*f) と Im(π’*f) は同型である。(※群の準同型定理)

よって、(★1)、(★2)より、G/N と G’/N’は同型である。