環の準同型定理

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定義 ( 準同型、同型 )

R、R’を環とする。

f:R→R’を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) f(x+y)=f(x)+f(y)

(2) f(xy)=f(x)f(y)

このとき、f を 『 (環の)準同型写像 』 という。

準同型写像が全単射であるとき、これを 『 同型写像 』 という。

R と R’の間に同型写像が存在するとき、「 R と R’は同型である 」 という。

B16

R、R’を環とする。

0 を R の零元とし、0’をR’の零元とする。

f:R→R’を準同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f(0)=0’

(2) 任意の x∈R に対し、f(−x)=−f(x)である。

(1)、(2)の証明

既に示した。(※A21)

B17

K、K’を体とする。

1 を K の単位元とし、1’を K’の単位元とする。

f:K→K’を準同型写像とする。

このとき、f が零写像でなければ、f(1)=1’である。

証明

f(1)=0’と仮定する。(背理法)

いま、任意の x∈K に対し、f(x)=f(x1)=f(x)f(1)=0’である。

よって、f は零写像である。

しかし、いま f は零写像でないとしているので、これは矛盾である。

よって、f(1)≠0’である。

また、f(1)=f(1・1)=f(1)f(1)である。

いま、f(1)≠0’であるから、f(1)−1 が存在する。

よって、f(1)=1’である。

B18 ( 単射 ⇔ Kerf={0} )

R、R’を環とする。

0 を R の零元とし、0’をR’の零元とする。

f:R→R’を準同型写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は単射である。

(2) Kerf={0}

証明

(1)を仮定する。

x∈Kerf とおく。

いま、f(x)=0’である。

また、f(0)=0’である。(※B16)

よって、f(x)=f(0)である。

f は単射であるから、x=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

f(x)=f(y)とおく。( x、y∈R )

いま、f(x−y)=f(x)−f(y)=0’である。

よって、x−y∈Kerf={0}である。

よって、x=y である。

以上により、f は単射である。

B19

R、R’を環とする。

f:R→R’を準同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) S’が R’の部分環ならば f−1(S’)は R の部分環である。

(2) I’がR’の両側イデアルならば f−1(I’)は R の両側イデアルである。

(3) S が R の部分環ならば f(S)はR’の部分環である。

( 一方、I が R のイデアルでも f(I)が R’のイデアルとは限らない )

(1)の証明

x、y∈ f−1(S’)とおく。

いま、f(x)、f(y)∈S’である。

よって、f(x−y)=f(x)−f(y)∈S’である。

よって、x−y∈ f−1(S’)である。

また、f(xy)= f(x)f(y)∈S’である。

よって、xy∈ f−1(S’)である。

よって、f−1(S’)は R の部分環である。(※B7)

(2)の証明

(1)より、f−1(I’) は R の部分環である。

a∈ f−1(I’)とおき、x∈R とおく。

いま、f(ax)=f(a)f(x)∈ I’である。

また、f(xa)=f(x)f(a)∈ I’である。

よって、ax、xa∈f−1(I’)である。

よって、I’は両側イデアルである。

(3)の証明

x’、y’∈f(S)とおく。

いま、ある x、y∈S が存在して、f(x)=x’、f(y)=y’となる。

また、−x+y∈S、xy∈S である。

よって、f(−x+y)∈f(S)、f(xy)∈f(S)である。

しかも、f(−x+y)=−f(x)+f(y)=−x’+y’である。

また、f(x、y)=f(x)f(y)=x’y’である。

よって、−x’+y’、x’y’∈f(S)である。

よって、f(S)は R’の部分環である。(※B7)

B20

R、R’を環とする。

f:R→R’を準同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Kerf は R’の両側イデアルである。

(2) Imf は R’の部分環である。

(1)の証明

明らかに、{0}は R’の両側イデアルである。

よって、Kerf は両側イデアルである。(※B19)

(2)の証明

明らかである。(※B19)

注意 ( 自明なイデアル )

R を環とする。

I⊂R をイデアルとする。

とくに、I={0} または I=R であるとき、I を 『 自明なイデアル 』 という。

B21

R を単位元1をもつ環とする。

R は可換環であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) R は体である。

(2) R は自明でないイデアルをもたない。

証明

(1)を仮定する。

I を R のイデアルとする。

I≠{0}とする。

x を I の 0 でない元とする。

y∈R とおく。

いま、y=yx−1x∈ I である。

よって、R⊂I である。

よって、I=R である。

つまり、R は自明でないイデアルをもたない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x∈R とおく。

x≠0 とする。

(x) を x で生成されたイデアルとする。

いま、仮定より、(x)=R である。

よって、1∈(x)=R である。

よって、ある y∈R が存在して、yx=1 となる。

これは y=x−1 を意味する。

よって、R は体である。

B22

体から環への零写像でない準同型写像は単射である。

証明

x∈Kerf とおく。

x≠0 と仮定する。(背理法)

いま、x−1∈K が存在する。

よって、f(1)=f(x・x−1)=f(x)f(x−1)=0’f(x−1)=0’である。

よって、任意の x∈K に対し、f(x)=f(x1)=f(x)f(1)=0’である。

しかし、これは f が零写像でないという仮定に矛盾する。

よって、x=0 である。

よって、f は単射である。(※B18)

B23 ( 環の準同型定理 )

R、R’を環とする。

f を(環の)準同型写像とする。

π:R→R/Kerf を自然な準同型写像とする。

このとき、ある同型写像φ:R/Kerf→R’が一意に存在して、φ*π=f となる。

つまり、R/Kerf と Imf は(環として)同型である。

証明

いま、加法に関して、群の準同型写像φが一意に存在して、φ*π=f となる。(※群の準同型定理)

( さらに、このφが積を保つことを示せばよい )

Kerf=I とおく。

いま、I はイデアルである。(※B20)

x’、y’∈R/I とおく。

いま、ある x、y∈R が存在して、x’=x+I かつ y’=y+I となる。

よって、φ(xy+I)=φ(π(xy))=f(xy)=f(x)f(y)=φ(π(x))φ(π(y))=φ(x+I)φ(y+I)である。

よって、φは環の準同型写像である。