例題問題(1変数関数の連続性・微分可能性)

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例題問題

次の関数を考える。



(1) f(x) が −{0} で連続であることを示せ。

(2) f(x) が 0 で不連続であることを示せ。

(1)の解答

f(y)=siny は で連続である。

g(x)=1/x は −{0} で連続である。

よって、f*g(x)=sin(1/x) は −{0} で連続である。

(2)の解答

いま、



よって、limx→0f(x) は存在しない。

よって、f(x) は x=0 で不連続である。

例題問題

次の関数を考える。



(1) f(x) が −{0} で連続であることを示せ。

(2) f(x) が 0 で連続であることを示せ。

(3) f(x) が 0 で微分可能でないことを示せ。

(1)の解答

g(x)=x は で連続である。

h(x)=sin(1/x) は −{0} で連続である。

よって、f=g(x)h(x)=xsin(1/x)は −{0} で連続である。

(2)の解答

x≠0 とする。

いま、|f(x)−f(0)|=|f(x)−0|=|f(x)|=|xsin(1/x)|である。

一方、|sin(1/x)|≦1 である。

よって、|xsin(1/x)|≦|x|である。

よって、|f(x)−f(0)|≦|x|である。

よって、limx→0|f(x)−f(0)|=0 である。

よって、limx→0f(x)=f(0) である。

つまり、f(x) は 0 で連続である。

(3)の解答

=1/(nπ) とおく。

x’=1/(2nπ+π/2) とおく。

いま、



よって、f は 0 で微分可能ではない。

例題問題

次の関数を考える。



(1) f(x) は で微分可能であることを示せ。

(2) f’(x) は 0 で不連続であることを示せ。

補足

つまり、f(x) が微分可能であっても、f’(x) が連続とは限らない。

(1)の解答

明らかに、f(x) は x≠0 で微分可能である。

一方、



よって、



つまり、f(x) は x=0 で微分可能である。

以上により、f(x) は で微分可能である。

(2)の解答

x≠0 において f’(x)=2xsin(1/x)−cos(1/x) である。

しかし、limx→0cos(1/x) は存在しない。

つまり、limx→0f’(x) は存在しない。

よって、f’(x) は 0 で不連続である。

参考

ここまでの内容を回想しよう。



とくに、(1)は 0 で不連続であり、(2)は 0 で連続である。

また、(2)は 0 で微分不可能であり、(3)は 0 で微分可能である。

これらのことは下図によって直観的にも確認できる。