例題問題(2変数関数の連続性・微分可能性)

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参考 ( 全微分可能性 )

f(x、y) を2変数関数とする。

ある定数 A、B が存在して、次を満たすとする。



このとき、「 f(x、y) は点(x、y) で全微分可能である 」 という。

簡単に言えば、全微分可能性は、f が全方向で微分可能であることを意味する。

例題問題

次の極限が存在しないことを示せ。

解答

y=mx に沿って (x、y) を (0、0) に近づける。

y=mx とすると、



よって、



この値は m に依存している。

つまり、(0、0)への近づき方によって値が変化する。

よって、極限は存在しない。

例題問題

次の関数が(0、0)で連続であることを示せ。

解答

x=rcosθ、y=rsinθ とおく。

いま、



(x、y)→(0、0) とすると、r=(x+y1/2→0 である。

よって、次が成り立つ。(※はさみうちの原理)



よって、f(x、y) は (0、0) で連続である。

例題問題

次の関数が (0、0) で全微分可能でないことを示せ。

解答

f(0+h、0+k)−f(0、0)=Ah+Bk+ε(h+k1/2 とおく。

いま、



ここで、r=(h+k1/2 とおく。

いま、



ここで、h=rcosθ、k=rsinθ とおく。

いま、cosθsinθ=Acosθ+Bsinθ+ε である。

よって、r→0 のとき、ε→0 とならない。

つまり、f(x、y) は (0、0) で全微分可能ではない。