例題問題(巾等行列、確率行列、指数行列など)

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参考

巾等行列と確率行列は統計学において有用である。

また、指数行列は物理学や化学において有用である。

例題問題

A を正方行列とする。

=A であるとする。

( このような行列 A を 『 巾等行列 』 という )

このとき、A の固有値は 0 または 1 であることを示せ。

解答

λ を A の固有値とする。

x を、λに付く固有ベクトルとする。

いま、Ax=λx である。

左から A を掛けると、Ax=λAx=λx である。

一方、A=A より、Ax=Ax=λx である。

よって、λx=λx である。

よって、(λ−λ)x=0 である。

いま、x は固有ベクトルであるから、x≠0 である。

よって、λ=0、1 である。

例題問題

A=(aij) を n 次行列とする。

次が成り立つとする。

(*1) aij≧0

(*2) ai1+・・・+ain=1 ( i=1、・・・、n )

( このような行列 A を 『 確率行列 』 という )

このとき、次を示せ。

(1) A は固有値として 1 をもつ。

(2) λ を A の固有値とすると、|λ|≦1 である。

(1)の解答

x=(1、・・・、1) とおく。

いま、



つまり、A は 1 を固有値としてもつ。

(2)の解答

x=(x、・・・、x) を、固有値λに付く固有ベクトルとする。

いま、Ax=λx である。

、・・・、x のうち、絶対値が最大のものを x とする。

いま、Ax=λx の第 k 行は、ak1+・・・+akn=λx である。

よって、



よって、|λ|≦1 である。

例題問題

指数行列 expA は次のように定義される。



次の行列 A について指数行列 expA を求めよ。

(1)の解答

いま、



よって、

(2)の解答

いま、



よって、

(3)の解答

(1)と(2)より、