例題問題(ベクトル空間)

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参考

3×1行列には次のように3通りの表記法がある。

とくに、文中では (a、b、c) と表すことにする。

これはスペースの節約を目的としているだけなので、どの表記を採用するかは個人の自由である。

上では 3×1 行列について述べたが、この表記法はベクトルに対しても適用してよいとする。

3次元ベクトルを (a、b、c)∈ と表す本もあるし、(a、b、c)∈ と表す本もある。

とくに、行列の計算が絡む場合には後者の表記が有用である。

例題問題

次のベクトルが において1次独立か1次従属か判定せよ。

補足

解答は3通り用意した。

解答〜その1

問題のベクトルを並べた行列を A と表す。

つまり、



(3行)+(1行) を行うと、



(1行)×(−1) を行うと、



(1行)−(2行)、(3行)−(2行) を行うと、



(3行)×(1/2) を行うと、



(1行)−(3行)、(2行)+(3行) を行うと、



よって、行列 A のランクは 3 である。

よって、問題のベクトルは1次独立である。

解答〜その2

次のようにおく。



いま、



係数行列を基本変形すると、



つまり、係数行列のランクは 3 である。

よって、連立1次方程式(*)は自明な解のみをもつ。

つまり、c=0、c=0、c=0 である。

つまり、問題のベクトルは1次独立である。

解答〜その3

次のようにおく。



いま、



いま、係数行列のランクは 3 である。

つまり、係数行列は逆行列をもつ。

そこで、係数行列の逆行列を(*)の両辺に左から掛けると、



つまり、c=0、c=0、c=0 である。

よって、問題のベクトルは1次独立である。

例題問題

次のベクトルが において1次独立か1次従属か判定せよ。

補足

解答は2通り用意した。

解答〜その1

問題のベクトルを並べた行列を A と表す。

つまり、



(2行)−(1行) を行うと、



(3行)−(2行) を行うと、



よって、行列 A のランクは 3 より小さい。

よって、問題のベクトルは1次従属である。

解答〜その2

次のようにおく。



いま、



係数行列を基本変形すると、



つまり、係数行列のランクは 3 より小さい。

よって、連立1次方程式(*)は、自明でない解をもつ。

つまり、問題のベクトルは1次従属である。

例題問題

次の集合 W が の部分空間であるか否かを判定せよ。

解答

a=(a、a、a)、b=(b、b、b)∈W とおく。

いま、a+2a+3a=0、b+2b+3b=0 である。

よって、任意のスカラーλとμに対し、(λa+μb)+2(λa+μb)+3(λa+μb)=0 である。

よって、λa+μb∈W である。

よって、W は の部分空間である。

例題問題

次の集合 W が の部分空間であるか否かを判定せよ。

解答

a=(a、a、a)、b=(b、b、b)∈W とおく。

いま、a−a=a、b−b=b である。

よって、任意のスカラーλとμに対し、(λa+μb)−(λa+μb)=λa+μb である。

よって、λa+μb∈W である。

よって、W は の部分空間である。

例題問題

次の集合 W が の部分空間であるか否かを判定せよ。

補足

解答は2通り用意した。

解答〜その1

a=(a、a、a)、b=(b、b、b)∈W とおく。

いま、a+a=1、b+b=1 である。

よって、任意のλとμに対し、(λa+μb)+(λa+μb)=λ+μ である。

よって、λa+μb は ( 一般には ) W に属さない。

よって、W は の部分空間ではない。

解答〜その2

の零元は (0、0、0) である。

W が の部分空間であれば、(0、0、0) は W に属する。

しかし、明らかに、(0、0、0) は W に属さない。

よって、W は の部分空間ではない。

例題問題

次の集合 W が の部分空間であるか否かを判定せよ。

解答

a=(1、0、0)∈W である。

しかし、−a=(−1、0、0) は W に属さない。

よって、W は の部分空間ではない。

例題問題

n×n 実行列全体を Mn×n) と表す。

明らかに、Mn×n) は行列の和とスカラー倍に関してベクトル空間となる。

このとき、次が成り立つことを示せ。

(1) W={ A∈Mn×n)|A=A } は Mn×n) の部分空間である。

(2) W={ A∈Mn×n)|TrA=O } は Mn×n) の部分空間である。

(1)の解答

A、B∈W とおく。

いま、A=A、B=B である。

よって、(λA+μB)=λA+λB=λA+μB である。

よって、λA+μB∈W である。

よって、W は部分空間である。

(2)の解答

A、B∈W とおく。

いま、TrA=O、TrB=O である。

よって、Tr(λA+μB)=λTrA+λTrB=O である。

よって、λA+μB∈W である。

よって、W は部分空間である。

例題問題

a=(1、1、0)、b=(1、0、−1)∈ とおく。

Span(a、b) を、{ a、b } によって生成される ( の ) 部分空間とする。

このとき、次を示せ。

(1) (1、2、1) は Span(a、b) に属する。

(2) (0、1、−2) は Span(a、b) に属さない。

(1)の解答

(1、2、1)=xa+yb とおく。

いま、



これを解くと、x=2、y=−1 である。

よって、(1、2、1)=2a−b∈Span(a、b) である。

(2)の解答

(0、1、−2)=xa+yb とおく。

いま、



これは解をもたない。

よって、(0、1、−2) は Span(a、b) に属さない。

例題問題

次のようにおく。



このとき、Span(v、v、v)= となることを示せ。

解答

(x、y、z)∈ とおく。

(x、y、z)=av+bv+cv とおく。

いま、a+b−c=x である。

また、a−b+c=y である。

また、−a+b+c=z である。

これを解くと、a=(x+y)/2、b=(x+z)/2、c=(y+z)/2 である。

よって、



つまり、(x、y、z)∈Span(v、v、v) である。

以上により、⊂Span(v、v、v) を意味する。

一方、明らかに Span(v、v、v)⊂ である。

よって、Span(v、v、v)= である。

例題問題

x と y を の ( 零でない ) ベクトルとする。

このとき、次は同値である。

(1) x と y は1次従属である。

(2) x と y は原点を通る直線上にある。

証明

(1)を仮定する。

いま、x=(x、x) と y=(y、y) は1次従属でる。

よって、ある実数 a、b (≠0) が存在して、ax+by=0 である。

ここで、b≠0 と仮定する。( a≠0 の場合も同様 )

いま、y=−(a/b)x である。

これは(2)を意味する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、ある実数 c(≠0) が存在して、y=cx と表せる。

つまり、cx+(−1)y=0 である。

つまり、ax+by=0 ( a、b≠0 ) の形で表せた。

つまり、x と y は1次従属である。