例題問題(ベクトル解析〜grad、div、rot)

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定義 ( 内積 )

a=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

a と b が成す角をθと表す。

次のように定義する。



このとき、a・b を 『 a と b の内積 』 という。

このページでは横ベクトルを意識

参考

a=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

むろん、最初からこちらを内積の定義として採用することもできる。

証明

いま、|| a−b ||=(a−b)・(a−b)=|| a ||−2a・b+|| b || である。

また、|| a−b ||=(a−b+(a−b+(a−b である。

また、|| a ||=a+a+a である。

また、|| b ||=b+b+b である。

よって、−2(a+a+a)=−2a・b である。

よって、a・b=a+a+a である。

定義 ( ベクトル積 )

a=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

次のように定義する。



このとき、a×b を 『 a と b のベクトル積 』 という。

=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1)とする。

いま、形式的に次のように表せる。



実際、(*)を第1行について余因子展開すると、



これは定義の式と一致する。

、a、a、b、b、b は実数だが、e、e、e はベクトルである。

つまり、(*)は本来の行列式とは異なる。

だから、上では 「 形式的に 」 という表現を用いたのである。

ベクトル積は 『 ベクトルの外積 』 と呼ばれることもある。

参考 ( ベクトル積の直観的な意味 )

a=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

このとき、a×b は、a を b に重ねるときに右ネジが進む向きである。

また、a×b の大きさは、a と b を辺とする平行四辺形の面積に等しい。

図示すると、

証明

実は、a×b が右ネジの進む向きであることをしっかりと証明するためには割と多くの準備が必要となる。

今回の問題に限らず、一般に 『 空間の向き 』 を決める問題は難しくなることが多い。

そこで、ここでは次のことだけを示す。

(1) a×b と a は直交する。

(2) a×b と b は直交する。

(3) a×b の大きさは、a と b を辺とする平行四辺形の面積に等しい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(1)の証明

次のように計算できる。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)の証明

(1)と同様である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)の証明

S を、a と b を辺とする平行四辺形の面積とする。

θ を、a と b が成す角とする。

いま、

注意 ( ナブラ演算子、ラプラス演算子 )

次のような記号を定める。



このとき、∇ を 『 ナブラ演算子 』 という。

また、Δ を 『 ラプラス演算子 』 という。

Δ=∇ と見なすこともある。

むろん、ここでの ∇ は、形式的な内積 ∇・∇ を意味する。

ここでは3次元の場合について表したが、同様のことは2次元に適用できる。

つまり、

定義 ( grad )

f(x、y、z) をスカラー場とする。

このとき、次のように定義する。

gradf を 『 f の勾配 』 と呼ぶこともある。

また、gradf を ∇f と表しても意味は同じである。

定義 ( div )

f(x、y、z)=(f(x、y、z)、f(x、y、z)、f(x、y、z)) をベクトル場とする。

このとき、次のように定義する。

divf を 『 f の発散 』 と呼ぶこともある。

また、divf を ∇・f と表しても意味は同じである。

定義 ( rot )

f(x、y、z)=(f(x、y、z)、f(x、y、z)、f(x、y、z)) をベクトル場とする。

このとき、次のように定義する。

rotf を 『 f の回転 』 と呼ぶこともある。

また、rotf を ∇×f と表しても意味は同じである。

∇×f で理解しておけば、rot の定義式を暗記する必要はなくなる。

例題問題

=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1) とおく。

このとき、次を求めよ、

(1) e×e

(2) e×e

(3) e×e

(4) e×e

(5) e×e

(6) e×e

補足

これらは直観的に明らかである。

例えば、e×e について考えてみよう。

を e に重ね合わせるとき、右ネジが進む方向は e 方向である。

また、e と e を辺とする平行四辺形の面積は1である。

つまり、e×e=e である。

しかし、以下では直接的に計算で示すことにする。

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

(3)の解答

計算すると、

(4)の解答

計算すると、

(5)の解答

計算すると、

(6)の解答

計算すると、

例題問題

次が成り立つことを示せ。

(*) (a、b、c)=(b、c、a)=(c、a、b)=−(a、c、b)=−(b、a、c)=−(c、b、a)

解答

いま、



よく知られているように、行と行を交換すると、行列式の符合は反転する。

よって、









例題問題

a=(a、a、a)、b=(b、b、b) とおく。

このとき、次が成り立つことを示せ。

(1) a×b=−b×a

(2) a×a=0

補足

むろん、内積の場合は a・b=b・a である。

実際、a・b=a+a+a=b+b+b=b・a である。

一方、ベクトル積の場合は、和の順序を交換すると符合が反転する。

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

例題問題

次を示せ。

(1) a×(b×c)=(a・c)b−(a・b)c

(2) (a×b)×c=(a・c)b−(b・c)a

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

(1)より、

例題問題

A、B、C を(x、y、z)座標空間内の3点とする。

a=OA、b=OB、c=OC を位置ベクトルとする。

S を、△ABC の面積とする。

このとき、次が成り立つことを示せ。

解答

|| AB×AC || は、AB と AC を辺とする平行四辺形の面積である。

よって、

例題問題

次の関数 f について gradf を求めよ。

(1) f(x、y)=x+y

(2) f(x、y、z)=x+y+z

(3) f(x、y、z)=xy

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

(3)の解答

計算すると、

例題問題

f(x、y、z)=(x−y、y−z、z−x) とおく。

g(x、y、z)=(x+yz、y+zx、z+xy) とおく。

このとき、次を求めよ。

(1) divf

(2) rotf

(3) divg

(4) rotg

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

(3)の解答

計算すると、

(4)の解答

計算すると、

例題問題

=(x、y、z) とおく。( つまり、r は位置ベクトルである )

r=|| r ||=√(x+y+z) とおく。

このとき、次が成り立つことを示せ。

(1) gradr=r/r

(2) divr=3

(3) rotr=(0、0、0)

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

(3)の解答

計算すると、

例題問題

f、g をベクトル値関数とする。

φをスカラー値関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) div(φf)=(∇φ)・f+φ(divf)

(2) rot(φf)=(∇φ)×f+φ(rotf)

(1)の解答

f=(f、f、f) とおくと、

(2)の解答

f=(f、f、f) とおくと、