例題問題(1階線形微分方程式、ベルヌーイ微分方程式、リッカチ微分方程式)

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参考 ( 斉次・非斉次1階線形微分方程式 )

y’+P(x)y=Q(x) を 『 1階線形微分方程式 』 という。

とくに、Q(x)=0 ( 定数関数 ) の場合を 『 斉次 』 という。

そうとは限らない場合を 『 非斉次 』 という。

つまり、1階線形微分方程式は、正規形で表したときに右辺が y の1次式となる。

これが名前の由来である。

『 斉次 』 は次数が等しいことを意味する。

例えば、y’ や y は1次である。

一方、y’y や y’y’ は2次である。

また、定数項は0次である。

y’+P(x)y=Q(x) に対し、Q(x)≠0 であるとすれば、これは1次と0次が混在していることになる。

なので、Q(x)=0 の場合を 「 斉次 」 と呼ぶ。

「 斉次 」 を 『 同次 』 と呼ぶ参考書もあるが、このサイトでは 『 斉次 』 を用いる。

なぜなら、化学の世界には 『 不斉合成 』 と呼ばれる反応があるからである。

通常の化学反応では、鏡像異性体が等量だけ生成される。

しかし、特定の反応では、この対称性が崩れ、鏡像異性体のうち一方のみが多く生成される。

なので、これを 『 不斉合成 』 と呼ぶのである。

ちなみに、非斉次微分方程式は、斉次微分方程式を含んでいることに注意しよう。

つまり、非斉次微分方程式とは 「 斉次でない場合 」 ではなくて 「 斉次であるとは限らない場合 」 である。

一方、不斉合成は、生成物の鏡像異性体が等量で 「 ない 」 場合を意味する。

だから、非斉次微分方程式は 『 非 』 であり、不斉合成は 『 不 』 である。

Q(x)=0 ( 定数関数 ) は 「 Q(x)がつねに 0 をとる 」 という意味である。

これを 『 零関数 』 と呼ぶこともある。

零関数の否定は 「 ある点 x で Q(x)≠0 となる 」 である。

「 つねに Q(x)≠0 となる 」 ではないことに注意しよう。

一般に、y(n)+P(x)y(n−1)+・・・+P(x)y=Q(x) を 『 n階線形微分方程式 』 という。

例えば、y(3)−xy’+xy=y は線形微分方程式ではない。

これは 『 非線形微分方程式 』 と呼ばれる。

非線形は重要だが、その基礎は線形微分方程式である。

例えば、ベルヌーイ微分方程式やリッカチ微分方程式は非線形だが、線形に帰着できる。

次はいずれも同じ意味である。

(*1) y’+P(x)y=0 は y’+P(x)y=Q(x) に同伴する斉次式である。

(*2) y’+P(x)y=0 は y’+P(x)y=Q(x) に付随する斉次式である。

(*3) y’+P(x)y=0 は y’+P(x)y=Q(x) に付く斉次式である。

(*4) y’+P(x)y=0 は y’+P(x)y=Q(x) の同伴方程式である。

ちなみに、「 同伴 」 や 「 付随 」 という用語は、数学においてよく用いられる。

これらは、簡単に言えば、対象に自然に付いてくる式などを意味する。

このサイトでは 「 付く 」 と表現する。

参考 ( 斉次1階線形微分方程式の一般解 )

y’+P(x)y=0 を斉次1階線形微分方程式とする。(★)

これを解くことは簡単である。

以下のようにすればよい。

いま、



両辺を x で積分すると、



よって、(★)の一般解は、

参考 ( 非斉次1階線形微分方程式の一般解 )

y’+P(x)y=Q(x)を非斉次1階線形微分方程式とする。(★1)

これを解くには以下のようにすればよい。

まず、y’+P(x)y=0 を(★1)に付く斉次式とする。(★2)

φ(x)=e−∫P(x)dx とおく。

いま、y=φ(x)は(★2)の1つの解である。

ここで、y=A(x)φ(x)とおく。(★3)

これを(★1)に代入することで、(★1)を満たす A(x) を求める。

いま、Q(x)=y’+P(x)y=A’φ+φ’A+PφA=A’φ+(φ’+Pφ)A=A’φ である。

よって、



よって、(★3)より、

もしかしたら、

「 結局、何をしているのかよく分からない 」

・・・と感じる人がいるかもしれない。

既に述べたように、y’+P(x)y=0 の一般解は y=Ce−∫P(x)dx である。

一方、上の(★3)では y=A(x)e−∫P(x)dx とおいている。

つまり、任意定数 C を A(x) に置き換えている。

なので、上記の方法を 『 定数変化法 』 という。

つまり、定数変化法とは、斉次式の解に補正を付けたものである。

参考 ( ベルヌーイ微分方程式は1階線形微分方程式に帰着される )

y’+P(x)y=Q(x)y を 『 ベルヌーイ微分方程式 』 という。(★)

ただし、m は 0 と 1 以外の整数であるとする。( m=0、1 の場合は、1階線形微分方程式に相当する )

つまり、ベルヌーイ微分方程式は1階線形微分方程式ではない。

しかし、これを1階線形微分方程式に帰着することができる。

補足

ロジスティック方程式 y’=λy(1−y/K)はベルヌーイ微分方程式である。

証明

u=y とおく。

いま、u’=kyk−1y’である。

(★)の両辺に kyk−1 を掛けて代入すると、u’+kPu=kQyk−1+m である。

ここで、k=1−m とすると、u’+(1−m)Pu=(1−m)Q である。

これは1階線形微分方程式である。

参考 ( リッカチ微分方程式はベルヌーイの微分方程式に帰着できる )

y’=P(x)y+Q(x)y+R(x) を 『 リッカチ微分方程式 』 という。(★)

つまり、リッカチ微分方程式は1階線形微分方程式ではない。

しかし、何らかの方法で1つの特殊解を得た場合、これをベルヌーイ微分方程式に帰着できる。

一方、既に述べたように、ベルヌーイ微分方程式は1階線形微分方程式に帰着できる。

つまり、リッカチ微分方程式は1階線形微分方程式に帰着できる。

証明

y=φ(x)を(★)の1つの特殊解とする。

u=y−φ(x)とおく。

いま、



これはベルヌーイ微分方程式 ( m=2 の場合 ) である。

例題問題

次を解け。

(1) y’−y=x

(2) y’−2y=e3x

(3) y’+ytanx=cosx

(4) 3y’+xy=xy−2

(5) y’+y/x=x ( x>0 )

補足

とくに、(4)と(5)はベルヌーイ微分方程式である。

(1)の解答

y’−y=0 を(1)に付く斉次式とする。

その一般解は y=Ce である。

そこで、C を A(x) に置き換えて、y=A(x)e とおく。(定数変化法)

これを(1)に代入すると、A’(x)e+A(x)e−A(x)e=x である。

つまり、A’(x)=xe−x である。

よって、A(x)=∫xe−xdx=−xe+∫e−xdx=−xe−x−e−x+C である。

よって、一般解は、y=(−xe−x−e−x+C)e=−x−1+Ce である。

(2)の解答

定数変化法で解いてもよいが、ここでは技巧的に解いてみよう。

両辺に e−2x を掛けると、(e−2xy)’=e である。

よって、e−2xy=∫edx=e+C である。

つまり、一般解は、y=e3x+Ce2x である。

(3)の解答

y’+ytanx=0 を(2)に付く斉次式とする。

その一般解は y=Ccosx である。

そこで、C を A(x) に置き換えて、y=A(x)cosx とおく。(定数変化法)

これを(3)に代入すると、A’(x)=1 である。

よって、A(x)=x+C である。

よって、一般解は、y=(x+C)cosx である。

(4)の解答

u=y1−(−2) とおく。

いま、問題の微分方程式は、u’+xu=x である。

これは1階線形微分方程式である。

これを解くと、u=1+Cexp(−x/2)である。

よって、一般解は、y=1+Cexp(−x/2)である。

(5)の解答

u=y1−3 とおく。

いま、問題の微分方程式は、u’−2u/x=−2x である。

これは1階線形微分方程式である。

その解は、u=−2x+Cx である。

よって、一般解は、1/y=−2x+Cx である。