例題問題(電磁気学〜静電場、ガウスの法則、導体、コンデンサ)

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参考 ( ガウスの発散定理 )

閉曲面 S に対して次が成り立つ。



これを 『 ガウスの発散定理 』 という。

次のように表しても意味は同じである。



は閉曲面 S の単位法ベクトル場である。

上式左辺は E から面に垂直な成分を抜き出して面上で積分することを意味する。

上式右辺は ∇・E を閉曲面内部で体積分することを意味する。

∇・E を divE と表すことも多い。

参考 ( ガウスの法則〜積分ver )

任意の閉曲面 S に対して次が成り立つ。



つまり、閉曲面 S を内から外へ貫く電束は、閉曲面 S 内部に含まれる全電荷量で決まる。

これを 『 ガウスの法則 』 という。

むろん、全電荷量を Q とすると、

参考 ( ガウスの法則〜微分ver )

ガウスの法則を次のように表すこともできる。

証明

参考(ガウスの法則〜積分ver)、参考(ガウスの発散定理)より、



つまり、結論を得る。

例題問題

質量 m の質点を2個だけ考える。

各質点に長さ a の糸を付けて同一点から吊り下げる。

各質点に同量の電荷を与えた。

すると、2つの糸が成す角はθとなり、釣り合った。

このとき、質点に与えられた電荷の大きさを求めよ。

解答

質点に与えられた電荷を q とする。

いま、質点間の距離は 2asin(θ/2) である。

よって、クーロン力の大きさは、



水平方向の力の釣り合いは、



よって、

例題問題

長さ a の棒を考え、その両端に点電荷 q が付いているとする。

棒の中心は点 O に固定されているとする。

棒は点 O まわりに回転できるとする。

点 O から距離 r の点 P に点電荷 Q があるとする。

棒と線分 OP が成す角をθとする。

点電荷 Q が棒に及ぼす力のモーメントを求めよ。

解答

点 P から棒の両端までの距離を R、R とする。



いま、R=r+(a/2)−arcosθである。

また、R=r+(a/2)+arcosθである。

また、





以上により、力のモーメント N は、

例題問題

長さ a の細い棒を考える。

棒に電荷が線密度λで一様に分布しているとする。

次のように点電荷 q を置く。



(1)の場合について点電荷 q が棒に及ぼす力を求めよ。

(2)の場合について点電荷 q が棒に及ぼす力を求めよ。

(1)の解答

まず、棒の中心からの距離 s の位置にある微小部分にはたらく力を考える。



この力の(棒に対する)垂直成分は、



一方、棒に水平な成分は対称性によって打ち消される。

よって、棒にはたらく力は垂直方向のみである。

よって、棒全体にはたらく力の大きさは、

(2)の解答

棒の中心から距離 s にある微小部分にはたらく力を考える。

この力は棒に対して平行である。

その力の大きさは、



棒全体にはたらく力の大きさは、

例題問題

座標(0、0、a/2)に点電荷 q を置く。

座標(0、0、−a/2)に点電荷 −q を置く。

(1) この2個の点電荷から成る電場を求めよ。

(2) とくに、点電荷からの距離が a に比べて十分大きい場合の電場を求めよ。

補足

設問(2)に対しては2通りの解答を用意した。

(1)の解答

+q と −q から成る電場を E(r)=(E(r)、E(r)、E(r)) とおくと、





(2)の解答〜その1

x が十分小である場合、(1+x)≒1+ax である。

よって、



よって、



よって、(1)より、





(2)の解答〜その2

点 P(x、y、z) におけるポテンシャルは、



a が十分小であるとすると、



よって、



ここで、r=(x+y+z1/2 とおく。

いま、



よって、



よって、







つまり、

補足

(2)の結果を図示すると、

例題問題

無限に長い直線上に電荷が一様に分布しているとする。

直線上の電荷の線密度をλとする。

このとき、電場を求めよ。

補足

解答は2通り用意した。

解答〜その1

電場の直線に平行な成分は対称性によって打ち消し合う。

よって、電場は直線に対して垂直であるとしてよい。



原点から(直線に対して垂直方向に)距離 r に位置する点を P とする。

原点から等距離 s にある(直線上の)点を A、B とする。

点 A ( や B ) において微小部分 Δs を考える。

点 A の電荷から成る電場は、点 P において次のように表される。



∠OPA=θとすると、E の水平成分は、



Δs→0 の極限をとり、微小部分からの寄与を合わせると、

解答〜その2

直線を軸とする円柱を考える。

円柱の半径を r とし、長さを b とする。

いま、円柱の上下平面部分を垂直に通る電場は 0 である。

また、円柱の側面で電場は面に(つねに)垂直である。

つまり、E・n=E である。( n は法ベクトル )

よって、



一方、



よって、ガウスの法則より、



つまり、

例題問題

半径 R をもつ細い輪に電荷が線密度λで一様に分布しているとする。

輪の中心を通る直線で、輪の面に垂直なものを考える。

この直線上の電場を求めよ。

解答

長さ Δs の微小部分に分布する電荷は λΔs である。

この微小部分から成る電場で、輪の中心からの距離 r に位置するものを考える。

その電場について直線に平行な成分は、



一方、直線に垂直な成分は打ち消される。

つまり、直線に平行な成分のみを考えればよい。

極限 Δs→0 を考え、輪の各部分からの寄与を合わせると、

例題問題

半径 R をもつ円板に電荷が面密度σで一様に分布しているとする。

円板の中心を通る直線で、面に垂直なものを考える。

この直線上の電場を求めよ。

補足

以下の解答では前問の結果を用いてよい。

解答

円板を幅 ΔR’の細い輪に分割する。

いま、各輪の(電荷の)線密度は λ=σΔR’ である。

よって、前問の結果より、

例題問題

無限に広い平面上に電荷が面密度σで一様に分布しているとする。

この電荷から成る電場を求めよ。

補足

解答は2通り用意した。

解答〜その1では前問の結果を用いる。

解答〜その1

前問題の結果に R→∞ とすればよい。

すると、E(r)=σ/2ε である。

解答〜その2

平面の一部を囲む円柱を考える。

ただし、円柱の両底面は平面に平行であるとする。

つまり、円柱の側面は平面に垂直である。

円柱の底面積を A とする。

いま、平面から成る電場は平面に垂直である。

つまり、円柱の側面を垂直に通る電場は 0 である。

一方、円柱の両底面では電場は面に垂直である。

つまり、E・n=E である。

よって、∫(r)・n(r)dS=2AE である。

一方、(1/ε)∫ρ(r)dV=σA/ε である。

よって、2AE=σA/ε である。(※ガウスの法則)

つまり、E=σ/2ε である。

例題問題

半径 R の球面に電荷が一様に分布しているとする。

全電荷は Q であるとする。

(1) 電場を求めよ。

(2) 静電ポテンシャルを求めよ。

(3) 静電エネルギーを求めよ。

(1)の解答

半径 R の球面と同じ中心をもつ半径 r の球面を考える。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、r<R の場合について考える。

いま、半径 r の球面の内部に電荷は存在しない。

よって、E(r)=0 ( r<R ) である。(※ガウスの法則)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、r>R の場合について考える。

明らかに、電場は球面に垂直である。

つまり、E・n=E(r) である。

よって、∫(r)・n(r)dS=4πrE(r) である。

一方、(1/ε)∫ρ(r)dV=Q/ε である。

よって、4πrE(r)=Q/ε である。(※ガウスの法則)

つまり、E(r)=Q/4πε ( r>R ) である。

(2)の解答

球の外部では、



一方、球の内部では電場は 0 であるからポテンシャルは一定である。

また、ポテンシャル r=R において連続である。

よって、



図示すると、

(3)の解答

電荷を無限遠から原点に移動させることで電荷 Q の球体を形成する。

いま、電荷 Q’/4πεR まで形成されたとする。

さらに電荷を無限遠から原点に ΔQ’ だけ移動させる。

そのために必要な仕事は(Q’/4πεR)ΔQ’ である。

よって、静電エネルギー U は、

例題問題

半径 R の球体に電荷が密度ρで一様に分布しているとする。

全電荷は Q であるとする。

(1) 電場を求めよ。

(2) 静電エネルギーを求めよ。

(1)の解答

半径 R の球体と同じ中心をもつ半径 r の球面を考える。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、r<R の場合について考える。

いま、半径 r の球面内部の電荷から成る電場は球面に対して垂直である。

つまり、E・n=E(r) である。

よって、



一方、半径 r の球体内部に含まれる全電荷は(4/3)πrρである。

よって、



よって、ガウスの法則より、



つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、r>R の場合について考える。

明らかに、電場は球面に対して垂直である。

つまり、E・n=E(r) である。

よって、



一方、半径 r の球面内部に含まれる全電荷は (4/3)πRρ である。

よって、



よって、ガウスの法則より、



つまり、

(2)の解答

電荷を無限遠から原点に移動させることで電荷 Q の球体を形成する。

いま、半径 r(<R) の球が形成されたとする。

さらに電荷を無限遠から移動させることで半径を Δr だけ大きくさせる。

そのために必要な仕事 ΔW を求める。

半径 r の球を半径 r+Δr の球に挟まれた球殻の体積は 4πrΔr である。

つまり、移動させる電荷の量は 4πrΔr・ρ である。

よって、ΔW=(半径 r の球面ポテンシャル)×4πrΔr・ρ である。

つまり、



よって、静電ポテンシャルは、

例題問題

半径 R、R の無限に長い2つの円筒を考える。

2つの円筒は軸を共有しているとする。

円筒の側面には電荷が一様に分布しているとする。

その面密度はぞれぞれ σ、σ であるとする。

この電荷から成る電場を求めよ。

解答

明らかに、電場の向きは円筒の側面に垂直である。

つまり、E・n=E(r) である。

新しく、半径 r で、長さ b の円筒を考える。

この円筒は問題の円筒と軸を共有するとする。

いま、



また、



よって、ガウスの法則より、

例題問題

半径 R の無限に長い円柱を考える。

円柱内部に電荷が密度ρで一様に分布しているとする。

この電荷から成る電場を求めよ。

解答

明らかに、電場の向きは円柱の側面に垂直である。

新しく、半径 r で、長さ b の円筒を考える。

この円筒は問題の円柱と軸を共有するとする。

いま、



また、



よって、ガウスの法則より、

例題問題

次の静電ポテンシャルを考える。



明らかに、φ(r)は原点で無限大となる。

つまり、原点に点電荷があると考えてよい。

(1) 原点にある点電荷の大きさを求めよ。

(2) 原点以外の空間に分布する電荷密度を求めよ。

(3) 原点以外に分布する全電荷が負であることを示せ。

補足

問題のポテンシャルは遠方で急速に 0 に近づく。

これは原点の点電荷がまわりに分布した逆符号の電荷によって遮蔽されるからである。

ゆえに、問題のポテンシャルを 『 遮蔽効果された静電ポテンシャル 』 という。

(1)の解答

いま、







よって、次のように計算できる。(※P1:ポアソン方程式)

(2)の解答

原点を中心とする半径 R の球面 S を考える。

よく知られているように、次が成り立つ。(※ガウスの法則)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

原点の点電荷を q とすると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、電場は球面 S に対して垂直である。

つまり、E(r)・n(r)=E(r) である。

さらに、



よって、



(*1)〜(*3)より、q=4πεA である。

(3)の解答

(2)より、



つまり、(1)と同じ値であり、符号は逆である。

例題問題

無限に広い平らな板 ( 厚さ d ) を考える。

この板に電荷が密度ρで一様に分布しているとする。

この電荷から成る電場を求めよ。

解答

板に垂直に z 軸をとり、板の中心に原点をとる。

いま、電場は z 方向であり、その強さは z のみに依存する。(※対称性)

よって、∇・E=dE(z)/dz である。

一方、∇・E=(1/ε)ρ(r) である。(※ガウスの法則)

よって、



|z|>d/2 で電場は一定である。

そこで、z>d/2 における電場の強さを E(z)=E と表す。

すると、z<−d/2 において E(z)=−E である。(※対称性)

いま、|z|≦d/2 において E(z)=(ρ/ε)z+C である。

また、z=±d/2 で電場は連続である。

つまり、



よって、C=0、E=ρd/2ε である。

以上により、

例題問題

2個の導体球を考える。

各導体球の半径は R であるとする。

これらを十分離して置く。

1個の導体球にのみ電荷 Q を与える。

その後、これら導体球を導線で接続する。

接続に伴う静電エネルギー変化を求めよ。

解答

孤立した導体球の電気容量は C=4πεR である。

このことは φ=q/4πεR と q=Cφ から分かる。

一般に、電荷 q をもつ導体の静電エネルギーは U=(1/2)qφ=(1/2)Cφ=(1/2C)q である。

よって、今回、電荷 Q をもつ導体の静電エネルギーは U=Q/8πεR である。

2個の導体球を接続すると、両者のポテンシャルは等しくなる。

また、電荷は Q/2 ずつ配分される。

よって、静電エネルギーは U’=2×(Q/2)/8πεR=Q/16πεR である。

よって、静電エネルギーは Q/16πεR だけ減少する。

補足

もしかしたら 「 減少した分の静電エネルギーはどこに消える? 」 と疑問に思う人がいるかもしれない。

これはジュール熱として導線から失われる。

つまり、電気エネルギーが熱エネルギーとして放出される。

例題問題

半径 R をもつ導体球を考える。

内径 R、外径 R をもつ導体球殻を考える。

導体球と導体球殻の中心は一致しているとする。

(1) 電気容量係数を求めよ。

(2) コンデンサとしての電気容量を求めよ。

(3) コンデンサとして蓄えられる静電エネルギーを求めよ。

補足

(3)については2通りの解答を用意した。

補足

よく知られているように、1個の導体がもつ静電エネルギーは (1/2)qφ である。

よって、電荷 ±q をもつコンデンサの静電エネルギーは U=(1/2)qφ−(1/2)qφ=(1/2)qΔφ である。

また、q=CΔφ である。(※定義:電気容量)

よって、U=(1/2)CΔφ=(1/2C)q である。

(1)の解答

導体球に電荷 q を与え、導体球殻に電荷 q を与える。

いま、中心から距離 r の点における電場は、



よって、導体球のポテンシャルφ、導体球殻のポテンシャルφは、





上式を q と q について解くと、





よって、電気容量係数は、



今回、C12=C21 となったことは偶然ではない。

つまり、C12=C21 は一般に成り立つ。

これを 『 電気容量係数の相反定理 』 という。

(2)の解答

(1)において q=q、q=−q、Δφ=φ−φ とおくと、



つまり、電気容量は、

(3)の解答〜その1

(2)より、次のように計算できる。(※補足)

(3)の解答〜その2

電荷 ±q をもつコンデンサ間の電場は E(r)=q/4πε である。

よく知られているように、単位体積あたりの静電エネルギーは u=(1/2)ε である。

よって、

例題問題

面積 A をもつ3つの導体板 a、b、c を平行に並べる。

a と b の間隔を d とし、b と c の間隔を d とする。

導体板 a と c を導線で接続する。

導体板 b に電荷 Q を与える。

導体板の間に生じる電場を求めよ。

補足

図示すると、

解答

ab間の電場の強さを E とする。

bc間の電場の強さを E とする。

いま、a と c のポテンシャルは等しい。

よって、ab間とbc間の電位差は等しい。

よって、E=E である。

σ=ε、σ=ε とおく。

つまり、σ と σ は導体板上下の面における電荷密度である。

いま、σ=E/E=d/d である。

また、b の全電荷は Q=σA+σA である。

以上により、



例題問題

電荷 ±Q をもつ平行板のコンデンサを考える。

導体板の面積を A とし、間隔を d とする。

導体板を引き合う力を求めよ。

補足

一般に、平行板のコンデンサの電気容量は C=εA/d である。

このことを確認しておこう。

まず、電場の強さは E=σ/ε=Q/εA である。

また、Δφ=Ed=(d/εA)Q である。

つまり、C=εA/d である。

補足

よく知られているように、1個の導体がもつ静電エネルギーは (1/2)qφ である。

よって、電荷 ±q をもつコンデンサの静電エネルギーは U=(1/2)qφ−(1/2)qφ=(1/2)qΔφ である。

また、q=CΔφ である。(※定義:電気容量)

よって、U=(1/2)CΔφ=(1/2C)q である。

解答

静電エネルギーは次のように計算できる。



間隔を d から d+Δd に変化させるときのエネルギー変化は、



よって、力は F=Q/2εA である。

例題問題

金属製の筒状容器を用意する。

その内径は R であり、外径は R であり、高さは h であるとする。

内径と外径の間を電解質溶液(電気伝導度σ)で満たす。

内外の側面に電位差をかけ、正負の電極とする。

このとき流れる電流について電気抵抗を求めよ。

補足

図示すると、

補足

一般に、電流密度 i(r) と電場 E(r) に対して  i=σE が成り立つ。(※オームの法則)(★1)

一方、導体から成る電場の強さは E=σ/ε である。(★2)

つまり、(★1)は(★2)の σ を i に置き換え、ε を σ に置き換えた形である。

むろん、前者のσは電気伝導度であり、後者のσは電荷密度であるから2つのσは区別する。

解答

明らかに、電流は放射状に向きをもつ。

よって、電流密度 i(r) は中心軸からの距離 r のみに依存する。

いま、半径 r ( R<r<R ) の円筒の側面を貫く電流は I=2πrh・i(r) である。

よって、



よって、



よって、

例題問題

電解質溶液(電気伝導度σ)中に2個の導体球(半径a)を置く。

導体球は十分小であるとし、導体球間の距離 R は十分大であるとする。

導体球間に電位差Δφをかける。

このときに流れる電流を求めよ。

補足

一般に、電流密度 i(r) と電場 E(r) に対して  i=σE が成り立つ。(※オームの法則)(★1)

一方、導体から成る電場の強さは E=σ/ε である。(★2)

つまり、(★1)は(★2)の σ を i に置き換え、ε を σ に置き換えた形である。

むろん、前者のσは電気伝導度であり、後者のσは電荷密度であるから2つのσは区別する。

解答

各導体球のポテンシャルは ±q/4πεa である。

よって、電位差は Δφ=q/2πεa である。

ε を σ に置き換え、q を I に置き換えれば I=2πσaΔφである。