例題問題(同次形は変数分離形に帰着できる)

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参考 ( 同次形 )

y’=f(y/x) を1階微分方程式とする。

このような形の微分方程式を 『 同次形 』 という。

同次形の微分方程式は、変数分離形に帰着できる。

証明

u=y/x とおく。( つまり、変数変換である )

いま、y’=(xu)’=u+xu’である。

よって、u+xu’=f(u)である。

よって、



これは変数分離形である。

よって、次のように解ける。(※変数分離形の解法は既知とする)



後は、u=y/x を代入して整理すればよい。

あるいは、次のように変形できる。



つまり、次の形である。(※ ±e を改めて C とおいた )

参考 ( 分母・分子のすべての項が k 次ならば同次形 )

P(x、y)、Q(x、y) を x と y の多項式とする。

P(x、y)、Q(x、y) の項はすべて k 次であるとする。

このとき、y’=P(x、y)/Q(x、y) は同次形である。

いま、次の形で表せる。



いずれにおいても、右辺の分母と分子を x で割ると、u=y/x の関数となる。

つまり、これらは同次形である。

参考

次の形の微分方程式を考える。



p=q=0 以外の場合、上式は同次形ではない。

しかし、変換によって同次形または変数分離形に帰着できる。

補足

以下では 『 ad−bc≠0 の場合 』 と 『 ad−bc=0 の場合 』 に分けて証明する。

証明 ( ad−bc≠0 )

ad−bc≠0 とする。

いま、次の連立1次方程式は一意に解をもつ。

(*1) ax+by+p=0

(*2) cx+dy+q=0

そこで、その解を (x、y)=(α、β) とおく。

x=u+α、y=v+β とおく。

いま、du/dx=1、dy/dx=dv/dx である。

よって、dv/du=(dv/dx)/(du/dx)=dy/dx である。

よって、問題の微分方程式は次のように表される。



明らかに、上式の右辺は同次形である。

証明 ( ad−bc=0 )

まず、c と d の少なくとも一方が 0 でない場合について考える。

いま、(ax+by)/(cx+dy)=k ( k は定数 ) である。

z=cx+dy+q とおく。

いま、ax+by+p=k(cx+dy)+p=kz+p−kq である。

よって、



これは変数分離形である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c=d=0 の場合について考える。

z=(ax+by+p)/q とおく。

いま、



これは変数分離形である。

例題問題

次を解け。

(1) 2xyy’=x+y ( x≠0 )

(2) xy’=y+√(x+y) ( x≠0 )

(3) (2x−y+1)−(x−2y+1)y’=0

(4) (x+y+1)+(2x+2y−1)y’=0

(1)の解答

両辺を x を割ると、2(y/x)y’=1+(y/x) である。

u=y/x とおく。

いま、y’=u+xu’である。

よって、2u(u+xu’)=1+u である。

つまり、2uxu’=1−u である。

よって、∫2u/(u−1)du=−∫(1/x)dx である。

よって、log|u−1|=−log|x|+C である。

よって、|u−1|・|x|=e である。

ここで、±e を改めて C とおく。

いま、(u−1)x=C である。

つまり、y−x=Cx である。

(2)の解答

いま、



ここで、u=y/x とおく。

いま、y’=u+xu’である。

よって、u+xu’=u+√(1+u) である。

つまり、xu’=√(1+u) である。

よって、∫(1+u−1/2du=∫(1/x)dx である。

よって、log|u+√(u+1)|=log|x|+C である。

よって、|u+√(u+1)|=|x|e である。

ここで、±e を改めて C とおく。

いま、u+√(u+1)+Cx である。

つまり、y/x+√(y/x+1)=Cx である。

よって、y+√(y+x)=Cx である。

さらに変形して C−2Cy=1 と表してもよい。

(3)の解答

αとβを、連立1次方程式 2x−y+1=0、x−2y+1=0 の解とする。

いま、α=−1/3、β=1/3 である。

u=x−α=x+1/3 とおく。(★1)

v=y−β=y−1/3 とおく。(★2)

いま、



また、(★1)より、u’=1 である。( つまり、du/dx=1 である )

また、(★2)より、v’=y’ である。( つまり、dv/dx=dy/dx である )

よって、



v/u=w とおく。

いま、dv/du=w+u(dw/du)である。(★3)

よって、(★3)、(*2)、(*1)より、



明らかに、これは変数分離形である。

いま、



よって、log(w−w+1)=−2log|u|+C である。

( w−w+1>0 なので、左辺の log の中身に絶対値を付ける必要はない )

よって、(w−w+1)u=C である。( ±e を改めて C とおいた )

w=v/u、u=x+1/3、v=y−1/3 を代入して記号を元に戻す。

すると、x−xy+y+x−y=C である。

(4)の解答

u=x+y とおく。

いま、u’=1+y’である。

よって、(u+1)+(2u−1)(u’−1)=0 である。

つまり、(2u−1)u’−(u−2)=0 である。

よって、



よって、2u+3log|u−2|−x=C である。

よって、