例題問題(1変数関数の連続性・微分可能性)

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定義 ( 複素フーリエ級数〜その1 )

f:[−π、π]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

定義 ( 複素フーリエ級数〜その2 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

定義 ( 複素フーリエ級数〜その3 )

f:[0、T]→ をリーマン可積分関数とする。

ここで、次のように定義する。



このとき、c を 『 f のフーリエ係数 』 という。

また、S[f] を 『 f の第N部分和 』 という。

また、limN→∞[f]を 『 f のフーリエ級数 』 という。

また、f=limN→∞[f] が成り立つとき、これを 『 f のフーリエ級数展開 』 という。

参考 ( どの定義も同じ )

明らかに、定義(複素フーリエ級数〜その1)、定義(〜その2)、定義(〜その3)は同じ意味である。

むろん、どの表記で議論を進めてもよい。

参考 ( 実フーリエ級数〜その1 )

f:[−L、L]→ をリーマン可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

今回の式をフーリエ級数の定義として最初に採用する書物も多い。

むろん、今回の式を定義として採用した場合、定義(複素フーリエ級数)は定理として導かれる。

ただし、今回の式は sin と cos で2種類の項が含まれており、その意味で扱いづらい。

一方、定義(複素フーリエ級数)の場合、項が1つに統一されている。

その意味で、理論的には定義(複素フーリエ級数)の方が扱いやすい。

なぜなら、実フーリエ級数は項が2種類に分かれているが、複素フーリエ級数では1種類からである。

補足

おそらく、よくある誤解だが、「 実フーリエ級数 」 と 「 複素フーリエ級数 」 は別物ではない。

この2つは表示方法が異なるというだけで、内容は同じである。

証明

k≧1とする。

いま、



よって、a=c+c−k、b=i(c−c−k)である。

一方、k=0 の場合を考えると、c=a/2 である。

よって、

参考 ( 実フーリエ級数〜その2 )

f:[0、T]→ をリーマン可積分関数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

参考(実フーリエ級数〜その1)と同様である。

定義 ( フーリエ変換 )

f(x) を区分的に滑らかな関数とする。

f(x) は絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、F を 『 フーリエ変換 』 という。

つまり、フーリエ変換はフーリエ級数の極限と見なせる。(※P4)

定義 ( フーリエ逆変換 )

g(ω) を区分的に滑らかな関数とする。

g(ω) は絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、F−1 を 『 フーリエ逆変換 』 という。

参考 ( フーリエ変換の性質 )

f(x) と g(x) を、区分的に滑らかな関数とする。

f(x) と g(x) は、連続であるとする。

f(x) と g(x) は、絶対可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

まず、a>0 の場合について考える。

いま、



次に、a<0 の場合について考える。

いま、



以上により、

(4)の証明

計算すると、

(5)の証明

計算すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ただし、上の計算では以下のことに注意する。

いま、f(x)は絶対可積分である。

つまり、



よって、limx→∞f(x)=0、limx→−∞f(x)=0 である。

よって、(*)の第1項は 0 である。

(6)の証明

(5)を帰納的に繰り返せばよい。

例題問題

次の関数について、その実フーリエ級数を求めよ。

解答

いま、



また、



また、



つまり、



よって、



つまり、

例題問題

次の関数について、その実フーリエ級数を求めよ。

解答

いま、



つまり、



また、



また、



以上により、

例題問題

次の関数について、その複素フーリエ級数を求めよ。

解答

いま、



また、



よって、

例題問題

次の関数について、そのフーリエ変換を求めよ。

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

(1)より、



上式をフーリエ逆変換すると、



記号 ω と x を交換すると、



s=−x とおくと、



つまり、F[g(x)](ω)=πe−|ω| である。

例題問題

次の関数について、そのフーリエ変換を求めよ。

補足

ただし、a、b>0 であるとする。

(1)の解答

次のように計算できる。

(2)の解答

いま、g(x)=f(x/a)である。

よって、次のように計算できる。

(3)の解答

いま、h(x)=f(x−b)である。

よって、次のように計算できる。