例題問題(合成関数の微分)

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例題問題

z=xy、x=cosθ、y=sinθ とする。

このとき、dz/dθ を求めよ。

解答

計算すると、

例題問題

z=log(x、y)、x=cosθ、y=sinθ とする。

このとき、dz/dθ を求めよ。

解答

計算すると、

例題問題

z=y−x、x=t、y=2t とする。

このとき、dz/dt を求めよ。

解答

計算すると、

例題問題

z=f(x、y)、x=rcosθ、y=rsinθ とする。

z=f(x、y) は2回連続偏微分可能であるとする。(★)

このとき、次が成り立つことを示せ。

補足

左辺から右辺を導くことも可能だが、計算が面倒である。

ここでは右辺から左辺を導く。

補足

条件(★)より、zxy=zyx である。

解答

いま、z=zcosθ+zsinθ である。

また、zθ=z・(−rsinθ)+z・rcosθ=r(−zsinθ+zcosθ) である。

また、



また、



よって、



以上により、

例題問題

z=f(x、y)、x=rcosθ、y=rsinθ とする。

このとき、次が成り立つことを示せ。

解答

計算すると、