例題問題(連立1次方程式、逆行列)

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参考

連立1次方程式は 『 掃き出し法 』 によって解ける。

また、逆行列も 『 掃き出し法 』 によって求められる。

つまり、いずれも掃き出し法によって求められる。

ただし、連立1次方程式には 『 クラメルの公式 』 という別解がある。

また、逆行列には 『 余因子行列 』 を用いる方法がある。

掃き出し法は何も新しい概念ではなくて、中学で知られている連立1次方程式の解法と同じである。

連立1次方程式の解法を行列で表示したものを掃き出し法と呼んでいるだけである。

例題問題

次の連立1次方程式を考える。



(1) この連立1次方程式を掃き出し法によって解け。

(2) この連立1次方程式をクラメルの公式によって解け。

補足

掃き出し法は次の手順で統一的にできる。

(*1) 拡大係数行列の(1、1)成分を(行基本変形によって)1にする。

(*2) 拡大係数行列の第1列において1行目以外を一掃して 0 にする。

(*3) 拡大係数行列の(2、2)成分を(行基本変形によって)1にする。

(*4) 拡大係数行列の第2列において2行目以外を一掃して 0 にする。

(*5) 上記の操作を他の列に対しても行う。

補足

連立1次方程式の掃き出し法では 『 列基本変形 』 は用いない方がよい。

行基本変形のみで解く方がよいであろう。

例えば、列の交換は、連立1次方程式の未知数を交換することを意味する。

よって、最終的な答えも、解が入れ替わったままになってしまう。

むろん、列の交換を行った後で再び記号を元に戻せばよいが、ほとんど利点はないであろう。

(1)の解答

拡大係数行列は、



(1行)−(2行)を行うと、



(2行)−(1行)を行うと、



(2行)×(−1)を行うと、



(1行)−(2行)×2、(3行)+(2行)を行うと、



3行×(1/2)、(1行)+(3行)、(2行)−(3行)を行うと、

(2)の解答

A を、係数行列とする。

いま、



よって、次のように計算できる。(※クラメルの公式)

例題問題

次の行列について、その逆行列を求めよ。

補足

解法は3通り用意した。

解答〜その1

よく知られているように、次の公式がある。



よって、

解答〜その2

次のようにおく。



AA−1=I より、



よって、



これを解くと、

解答〜その3 ( 掃き出し法による解法 )

まず、



(2行)−(1行)を行うと、



(1行)−(2行)×2 を行うと、



よって、

補足

既に注意したように、掃き出し法による解法は連立1次方程式を解く作業と本質的に同じである。

つまり、『 解答〜その2 』 と 『 解答〜その3 』 は単なる表記の違いである。

例題問題

次の行列についてその逆行列を求めよ。

解答〜その1

を、A の余因子行列とする。

いま、



よって、

解答〜その2

次のようにおく。



AA−1=I より、



この連立1次方程式を解くと、

解答〜その3

まず、



(1行)×(1/3)、(2行)×(1/2) を行うと、



(3行)−(1行) を行うと、



(2行)−(3行) を行うと、



よって、