例題問題(変数変換公式)

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参考 ( 変数変換公式 )

D を xy 平面の閉領域とする。

E を uv 平面の閉領域とする。

φ:E→D を全単射な写像とする。

D、E の境界は有限個の点を除いて C 級であるとする。(★)

φ(u、v)=(x(u、v)、v(u、v)) とおく。

ここで、次のように定義する。



この ∂(x、y)/∂(u、v) を 『 (x、y) の (u、v) に関するヤコビアン 』 という。

このとき、次が成り立つ。



これを 『 変数変換公式 』 という。

級とは、微分した後でも連続となる関数(または曲線)を意味する。

簡単に言えば、これは曲線が滑らかであることを意味する。

例えば、通常の直線や曲線は C 級である。

一方、角をもつ曲線は、微分すると不連続となるので、C 級ではない。

ただし、(★)では 「 有限個の点を除いて 」 と書かれている。

よって、曲線がもつ角が有限個であれば、問題はない。

このように、有限個の点を除いて C 級である場合、「 この曲線は区分的に C 級である 」 という。

以上により、変数変換公式は、通常の閉領域についてはつねに成り立つと言える。

この意味で、条件(★)はほとんど気にする必要はない。

変数変換公式(*)において、ヤコビアンに絶対値が付いていることに注意しよう。

この辺りは誤解が生じやすい。

よく知られているように、行列 A に対し、その行列式は detA または|A|と表される。

そして、ヤコビアンは行列式である。

よって、(*)の|・|が絶対値記号であることを読み落とす人が多いであろう。

参考 ( 極座標変換 )

f(x、y) を2変数関数とする。

x=rcosθ、y=rsinθ とおく。

いま、ヤコビアンは、∂(x、y)/∂(u、v)=r である。(※計算すれば分かる)

よって、



今回の変換 (x、y)=(rcosθ、rsinθ) を 『 極座標変換 』 という。

上記の変換は形式的に dxdy=rdrdθ と表される。

極座標変換は最もよく用いられる変数変換公式である。

例題問題

次の積分を計算せよ。

解答

x+2y=u、2x−y=v とおく。

いま、u=(u+2v)/5、v=(2u−v)/5 である。

E={ (u、v) : 0≦u≦2、0≦v≦4 } とおく。

いま、E と D の各点は1対1で対応している。

また、∂(x、y)/∂(u、v)=−1/5 である。

よって、

例題問題

a>0 とする。

このとき、次の積分を計算せよ。

解答

x=rcosθ、y=rsinθ とおく。

E={ (r、θ) : 0≦r≦a、0≦θ≦2π } とおく。

いま、D と E の各点は1対1で対応している。

また、∂(x、y)/∂(u、v)=r である。

よって、

例題問題

次の積分を計算せよ。

解答

x=rcosθ、y=rsinθ とおく。

E={ (r、θ) : −2/π≦θ≦2/π、0≦r≦cosθ } とおく。

いま、D と E の各点は1対1で対応している。(★1)

また、∂(x、y)/∂(u、v)=r である。

よって、次のように計算できる。(★2)

(★1)について補足

図示すると、



D は (1/2、0) を中心とする半径 1/2 の円板であることに注意。

(★2)について補足

n が(正の)偶数である場合、次が成り立つ。



n が(正の)奇数である場合、次が成り立つ。