例題問題(複素解析)

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参考 ( 複素解析の特色 )

このページでは複素解析の基本問題を扱う。

今回は定理の復習を少し多めに載せる。

その理由は、複素解析には特徴的な定理が多いからである。

例えば、線形代数や微分積分で得られる定理は 『 自然な結果 』 が多かった。

つまり、それらの定理は 「 ああ、たしかに成り立ちそうだな 」 というものが多かった。

しかし、複素解析では特徴的な定理が多く、証明それ自体も重要であることが多い。

とくに、コーシーの積分定理の応用は、例題問題を解いて理解するために有用である。

そこで、少し長くなってしまうのだが、まずは複素解析の重要な定理をまとめておく。

参考 ( コーシーの積分定理 )

C を単純閉曲線とする。

D を C の内部の領域とする。( つまり、D は C で囲われた領域である )

複素関数 f(z) は、C と D 上で正則であるとする。

このとき、

補足

単純閉曲線とは、自分自身とは交わらない閉曲線のことである。

証明

省略する。

参考 ( 「 コーシーの積分定理 」 の応用〜その1 )

C、C を単純閉曲線とする。

は C の内部に含まれているとする。

D を、C と C を境界としてもつ領域とする。

複素関数 f(z) は、D、C、C 上で正則であるとする。

このとき、

証明

いま、



新しく、次のように積分経路を追加する。



いま、C+Γ+(−C)+(−Γ) は1つの閉曲線である。



よって、次が成り立つ。(※コーシーの積分定理)



また、



よって、

参考 ( 「 コーシーの積分定理 」 の応用〜その2 )

C、C、C を単純閉曲線とする。

と C は、C の内部に含まれているとする。

D を、C、C、C を境界としてもつ領域とする。

複素関数 f(z) は、D、C、C、C 上で正則であるとする。

このとき、

補足

同様に、次が成り立つ。

証明

参考(「コーシーの積分定理」の応用〜その1)と同様に証明できる。

つまり、下図のように積分経路を追加すればよい。



すると、C+Γ+(−C)+Γ+(−C) が1つの閉曲線となる。

よって、∫C+Γ+(−C)+Γ+(−Cdz=0 である。(※コーシーの積分定理)

参考 ( 参考書によって異なる書き方 )

領域と閉曲線を表す方法にはいくつか種類がある。

よって、参考書によって少し書き方が異なって視える場合がある。

これが整理できていないと、参考書を読んでも混乱してしまうであろう。

例えば、コーシーの積分定理を調べても、表記法が異なるので混乱してしまう。

そこで、ここでは簡単に領域と閉曲線の表し方について注意しておく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、D を単連結領域とする。

単連結な領域とは 『 穴が空いていない領域 』 である。

また、集合 D の境界を ∂D と表す。

この場合、D の境界とは、D の外周を意味する。

つまり、単連結領域 D の境界 ∂D は、単純閉曲線である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、話を白紙に戻して、単純閉曲線 C があるとする。

C の内部 Cint と表すことにする。

つまり、Cint は C によって囲まれた領域を意味する。

明らかに、単純閉曲線 C の内部 Cint は単連結領域である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

とくに、代表的な閉曲線として C:|z|=1 が考えられる。

これは原点 0 を中心とした半径1の円である。

また、z=3i を中心とする半径 2 の円は、C:|z−3i|=2 と表せる。

むろん、C:|z|=1 の内部は|z|<1 と表せる。

また、C:|z−3i|=2 の内部は|z−3i|<2 と表せる。

一方、|z|<1 を S(0、1) と表す習慣もある。

あるいは、D(0、1) や Δ(0、1) と表す参考書も多い。

同様に、|z−3i|=2 は S(3i、2) と表される。

この表記を用いると、|z|<1 の境界 は ∂S(0、1) と表せる。

つまり、∂S(0、1) は|z|=1 を意味する。

よって、例えば、次の式は同じ意味をもつ。



初級者向けの参考書では ∫|z|=1 と表すことが多い。

しかし、∂を用いた表記の方が便利なことが多い。

よって、なるべく両方の表記に慣れておくとよい。

参考 ( 特異点 )

f(z) が点 z=a において正則でないとき、a を 『 f(z)の特異点 』 という。

特異点 a の近傍に a 以外の特異点がないとき、a を 『 孤立特異点 』 という。

もしかしたら、

「 近傍とは具体的にどれくらい近くだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、近傍とは、具体的な距離を定めたものではない。

ここでの近傍とは次の意味である。

(*) 点 a を囲む十分小さな円が存在して、その内部に a 以外の特異点が存在しないようにできる。

つまり、どんなに小さな円でもよいから、その円の内部では a 以外に特異点が存在しない。

これを孤立特異点と呼ぶのである。

この類の表現は数学ではよく用いられる。

参考 ( 基本公式〜その1 )

r>0 を定数とする。

αを複素定数とする。

n を整数とする。

このとき、

補足

図示すると、

証明

いま、閉曲線 C は z(θ)=r・eiθ+α ( 0≦θ≦2π ) と表せる。

また、dz(θ)/dθ=ireiθ である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、n≠−1 の場合について考えると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、n=−1 の場合について考えると、

参考 ( 基本公式〜その2 )

αを複素定数とする。

C を、αを囲む(任意の)単純閉曲線とする。

このとき、

補足

図示すると、

補足

ちなみに、点αが C の外部に位置するとき、上記の積分値は 0 になる。(※コーシーの積分定理)

しかし、今回は点αが特異点(非正則点)であるため、コーシーの積分定理は使用できない。

実際、コーシーの積分定理では f は C の内部で正則であることが仮定されている。

この条件を見落として間違えてコーシーの積分定理を使用する・・・というのはよくある間違いである。

証明

:|z−α|=r を、点αを中心とする円とする。

の半径は十分小であるとする。

つまり、C は C の内部に含まれるとする。

すると、次が成り立つ。(※コーシーの積分定理の応用、基本公式〜その1)

参考 ( コーシーの積分公式 )

C を単純閉曲線とする。

D を、C の内部とする。

f(z) は D と C 上で正則であるとする。

α を D に属する点とする。

このとき、次が成り立つ。



実際の計算では次の形で用いられることが多い。

補足

つまり、αを囲む閉曲線上の値 f(z) が分かれば、値 f(α) も分かる。

これは正則関数の鮮烈な特徴である。

よく知られているように、正則関数は任意の方向から微分可能であることを意味する。

これにより、正則関数はある意味での 『 剛直性 』 をもつ。

つまり、正則関数の形状はある程度だけ決まっている。

証明

省略する。

参考 ( グルサの公式 )

C を単純閉曲線とする。

D を、C の内部とする。

f(z) は D と C 上で正則であるとする。

α を D 上に属する点とする。

このとき、次が成り立つ。



実際の計算では次の形で用いられることが多い。

補足

つまり、正則関数は何回でも微分可能である。

また、f(n)(z) も正則関数である。

証明

省略する。

参考 ( テイラー展開 )

C:|z−a|=r とおく。

D を、C の内部とする。

f(z) は D と C 上で正則であるとする。

このとき、D 内の任意の点 z に対し、次が成り立つ。

証明

省略する。

参考 ( ローラン展開 )

:|z−a|=r、C:|z−a|=r とおく。

<r であるとする。

D を、C と C を境界にもつ領域とする。

f(z) は D、C、C 上で正則であるとする。

C を点 a を囲む単純閉曲線とする。

ただし、C は D に含まれているとする。

このとき、次が成り立つ。



1≦m≦∞−m(z−a)−m を 『 特異部(主要部) 』 という。

補足

図示すると、

補足

とくに、点 a が正則点であるとき、特異部は 0 になる。

つまり、正則点まわりのローラン展開はテイラー展開に一致する。(※基本公式〜その1)

もともと、テイラー展開は正則点まわりで定義された概念であった。

一方、ローラン展開は正則点と特異点のどちらでもよい。

つまり、ローラン展開はテイラー展開の一般化である。

証明

省略する。

参考 ( ダランベルの公式〜無限級数ver )

0≦n≦∞ を無限級数とする。

次の極限が存在すると仮定する。(★)



このとき、次が成り立つ。

(1) λ<1 ⇒ 0≦n≦∞ は収束する。

(2) λ≧1 ⇒ 0≦n≦∞ は発散する。

補足

条件(★)が仮定されていることに注意しよう。

この仮定が満たされていないと、ダランベルの公式は使用できない。

ただ、試験で出される問題はこの条件を満たしていることが多い。

補足

実は、ダランベルの公式の一般化として 『 コーシー・アダマールの公式 』 がある。

ただ、コーシー・アダマールの公式を記述するには 『 上極限 』 という概念が必要である。

これは難しい概念ではないが、初等的な知識ではないので、授業では省かれることが多い。

証明

省略する。

参考 ( ダランベルの公式〜巾級数ver )

0≦n≦∞(z−a) を巾級数とする。

巾級数の収束半径 R は次式によって計算できる。



つまり、次が成り立つ。

(1) |z−a|<R ⇒ 0≦n≦∞ は収束する。

(2) |z−a|≧R ⇒ 0≦n≦∞ は発散する。

補足

むろん、(*1)を次のように表しても意味は同じである。



無限級数の場合と分母・分子が逆なので、これを混同する入門者は多いと思われる。

補足

むろん、こちらの定理でも極限 limn→∞|cn+1/c|の存在を仮定している。

また、こちらの場合も、一般化としてコーシー・アダマールの公式がある。

証明

省略する。

参考 ( 重要なマクローリン展開 )

次のようにマクローリン展開できる。

補足

これらはさらに複雑な関数の展開(ローラン展開なども含める)で基礎となるので有用である。

例えば、ze の展開は、e の展開に z を掛ければよい。

証明

いずれも、参考(マクローリン展開)、参考(収束半径)の公式を適用するだけで導かれる。

参考 ( 特異点の見つけ方 )

f を複素関数とする。

ある複素関数 h が存在して、次を満たすとする。

(1) h は点 z=α において正則である。

(2) h(α)≠0

(3) f(z)=h(z)/(z−α)

このとき、次が成り立つ。

(4) 点αは f の k 位の極である。

逆に、(4)が成り立つときは(1)〜(3)が成り立つ。

つまり、(1)+(2)+(3) と (4) は同値である。

証明

(1)〜(3)を仮定する。

いま、h(z)=c+c(z−α)+c(z−α)+・・・と表せる。(※テイラー展開)

また、c=h(α)≠0 である。

また、



つまり、点αは f の k 位の極である。

以上で、(1)+(2)+(3) ⇒ (4) が示された。

上記の議論を逆に辿れば、、(4) ⇒ (1)+(2)+(3) が得られる。

参考 ( 留数 )

z=a を f(z) の孤立特異点とする。

D を 0<|z−a|<r によって定まる領域とする。

f(z) は D 上で正則であるとする。

いま、f(z) はローラン展開可能である。

つまり、f(z)=0≦n≦∞(z−a)1≦m≦∞−m(z−a)−m と表せる。

この (z−a)−1 の係数 c を 『 f(z) の z=a における留数 』 という。

これを Res[a] と表す。

関数を明示したい場合は、Res(f、a) と表す。

つまり、



よって、



これは 『 留数定理 』 の一部である。

参考 ( 留数定理 )

C を単純閉曲線とする。

D を、C の内部とする。

f(z) は、D と C 上で、孤立点 a、・・・、a を除いて正則であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

省略する。

例題問題

次を計算せよ。

補足

図示すると、



とくに、(3)は y=x に相当する曲線である。

補足

よく知られているように、次の定理がある。

(*1) 正則関数の線積分は積分経路に依存しない。

言い換えると、

(*2) 正則関数の線積分は始点と終点のみに依存する。

今回の問題において、f(z)=z は正則関数である。

よって、(1)〜(3)の計算結果は一致する。

しかし、以下の解答では各積分経路から直接に計算する。

(1)の解答

いま、dz(t)/dt=1+i である。

よって、

(2)の解答

(t)=t ( 0≦t≦1 ) とおく。

(t)=1+i(t−1) ( 1≦t≦2 ) とおく。

いま、dz/dt=1、dz/dt=i である。

よって、

(3)の解答

いま、dz(t)/dt=1+2it である。

よって、

例題問題

次を計算せよ。

補足

今回の問題において は正則ではない。

よって、(1)〜(3)の計算結果は異なる値になる。

(1)の解答

いま、dz(t)/dt=1+i である。

また、

(2)の解答

(t)=t ( 0≦t≦1 ) とおく。

(t)=1+i(t−1) ( 1≦t≦2 ) とおく。

いま、dz/dt=1、dz/dt=i である。

また、

(3)の解答

いま、dz(t)/dt=1+2it である。

よって、

例題問題

次を計算せよ。

補足

もしかしたら、

「 積分経路が明示されていないから計算できないのでは? 」

・・・と戸惑う人がいるかもしれない。

しかし、既に述べたように、正則関数の線積分は積分経路に依存しない。

つまり、始点と終点のみに依存している。

よって、積分記号∫に始点と終点を付けて書けば情報は十分である。

これを 『 複素積分 』 という。

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

(3)の解答

計算すると、

参考 ( 線積分と複素積分のまとめ )

次の計算を考えてみよう。



いま、C は 0 と 1+i を結ぶ曲線である。

この計算を C に沿って計算することは少し面倒である。

実際、



このように、t まで登場してさらに積分までしなければならない。

しかし、z は正則関数である。

よって、積分経路は自由でよい。

そこで、別の積分経路 Γ:z(t)=t+it で計算してよい。

これは 0 と 1+i を結ぶ直線である。

こちらの方が計算が楽になる。

実際、



ちなみに、(1+i) の計算は簡単である。

実際、(1+i)=2i なので、(1+i)=−4 である。

しかし、そもそも、z は正則なので、これは複素積分で計算できる。

実際、

例題問題

次を計算せよ。

(1)の解答

いま、f(z)=1/(z+1) は C の内部の点 ±i で正則ではない。

そこで、次のように計算する。(※基本公式〜その1)

(2)の解答

いま、f(z)=1/(z+1) は C の内部で正則である。

よって、次が成り立つ。(※コーシーの積分定理)

(3)の解答

いま、f(z)=1/(z+1) は C の内部の点 i でのみ正則ではない。

よって、次のように計算できる。(※基本公式〜その1)

(4)の解答

いま、f(z)=1/(z+1) は C の内部の点 −i でのみ正則ではない。

よって、次のように計算できる。(※コーシーの積分定理、基本公式〜その1)

例題問題

次を計算せよ。

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

例題問題

次を計算せよ。

(1)の解答

f(z)=cosz とおく。

いま、f(z) は C とその内部で正則である。

また、f(2)(z)=−cosz である。

よって、次のように計算できる。(※グルサの公式)

(2)の解答

f(z)=esinz とおく。

いま、f(z) は C とその内部で正則である。

また、f’(z)=esinz+ecosz である。

よって、次のように計算できる。(※グルサの公式)

例題問題

次の関数を点 z=0 まわりでローラン展開せよ。



また、各展開において、z=0 が 「 極、真性特異点、除去可能な特異点 」 のいずれであるか判定せよ。

(1)の解答

参考(重要なマクローリン展開)より、



よって、



いま、特異部は 1/z のみである。

つまり、z=0 は(第2位の)極である。

(2)の解答

参考(重要なマクローリン展開)より、



よって、



いま、特異点は存在しない。

よって、z=0 は除去可能な特異点である。

( つまり、z=0 は特異点のように視えるだけで、実際には特異点ではない )

(3)の解答

参考(重要なマクローリン展開)より、



よって、



いま、特異部は 1/z+i/z−1/(2!/z) である。

つまり、z=0 は(第3位の)極である。

(4)の解答

次のように展開できる。



いま、特異部は 1/z+1/(6z)+・・・ である。

つまり、z=0 は真性特異点である。

例題問題

次の関数を z=0 の十分近くでローラン展開せよ。

補足

この問題では 「 十分近くで 」 と指定されているので、その通りにローラン展開すればよい。

ただし、もし、このような指定がなかった場合、領域の範囲に応じて場合分けする必要がある。

そこで、以下では2通りの解答を用意した。

「 解答〜その1 」 では、z=0 の十分近くでのローラン展開を書く。

「 解答〜その2 」 では、場合分けも考慮した解答を書く。

解答〜その1

計算すると、

解答〜その2

いま、f(z) の孤立特異点は z=0、−1 である。

そこで、0<|z|<1 と |z|>1 で場合分けする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

0<|z|<1 の場合について考える。

いま、|−z|=|z|<1 である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

|z|>1 の場合について考える。

いま、|−1/z|=1/|z|<1 である。

よって、

例題問題

次の関数を z=i の十分近くでローラン展開せよ。

補足

この問題では 「 十分近くで 」 と指定されているので、その通りにローラン展開すればよい。

ただし、もし、このような指定がなかった場合、領域の範囲に応じて場合分けする必要がある。

そこで、以下では2通りの解答を用意した。

「 解答〜その1 」 では、z=i の十分近くでのローラン展開を書く。

「 解答〜その2 」 では、場合分けも考慮した解答を書く。

補足

z−i=ζとおいて、ζ=0 を中心にローラン展開すれば解ける。

解答〜その1

ζ=z−i とおく。

g(ζ)=f(z) とおく。

g(ζ) を ζ=0 を中心にローラン展開すると、



よって、

解答〜その2

いま、f(z) の特異点は z=0、i である。

ζ=z−i とおく。

g(ζ)=f(z) とおく。

以下、g(ζ) を ζ=0 を中心にローラン展開する。

いま、g(ζ)=1/ζ(ζ+i) であり、その特異点は ζ=0、−i である。

そこで、0<|ζ|<1 と |ζ|>1 で場合分けする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

0<|ζ|<1 の場合について考える。

いま、|−ζ/i|=|ζ|<1 である。

よって、



つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

|ζ|>1 の場合について考える。

いま、|−i/ζ|=1/|ζ|<1 である。

よって、



つまり、

例題問題 ( 特異点を見つける )

次の複素関数について、その特異点と位数を求めよ。

(1)の解答

次のように見なす。



すると、z=1 は f(z) の1位の極である。(※参考:特異点の見つけ方)

一方、次のように見なす。



すると、z=2 は f(z) の1位の極である。(※参考:特異点の見つけ方)

(2)の解答

(1)と同様に、z=0、3 が1位の極である。

(3)の解答

z=−1/2 が3位の特異点である。

(4)の解答

z=2i、−2i が1位の極である。

例題問題 ( 留数の求め方〜その1 )

点 a が f(z) の第1位の極であるとする。

このとき、



このことを証明せよ。

解答

いま、f(z)=c−1(z−a)−1+c+c(z−a)+c(z−a)+・・・ である。

よって、(z−a)f(z)=c−1+c(z−a)+c(z−a)+・・・ である。

よって、limz→a(z−a)f(z)=c−1 である。

例題問題 ( 留数の求め方〜その2 )

点 a が f(z) の第 k 位の極であるとする。

このとき、



このことを証明せよ。

解答

いま、f(z)=c−k(z−a)−k+・・・+c−1(z−a)−1+c+c(z−a)+・・・ である。

よって、(z−a)f(z)=c−k+・・・+c−1(z−a)k−1+c(z−a)+c(z−a)k+1+・・・ である。

よって、



よって、

例題問題 ( 留数の求め方〜その3 )

点 a が f(z)=h(z)/g(z) の第1位の極であるとする。

h(z) は z=a で正則であるとする。

g(a)=0、g’(a)≠0 であるとする。

このとき、

解答

いま、h(z) は点 a まわりでテイラー展開できる。

つまり、h(z)=b+b(z−a)+b(z−a)+・・・ と表せる。

いま、g(a)=0、g’(a)≠0 である。

よって、g(z)=c(z−a)+c(z−a)+・・・( c≠0 ) と表せる。

とくに、c=g’(a) である。

いま、次が成り立つ。(※例題問題:留数の求め方〜その1)

例題問題

次を計算せよ。

補足

(2)については2通りの解答を用意した。

補足

むろん、問題の式を次のように表しても意味は同じである。

(1)の解答

いま、



また、z=0 は C 内部の特異点であり、Res(0)=c−1=1/4! である。

よって、次のように計算できる。(※留数定理)

(2)の解答〜その1

被積分関数の特異点は 0 と 1 である。

いま、



つまり、Res(0)=c−1=2 である。( これは例題問題(留数の求め方〜その1)からも確認できる )

また、



つまり、Res(1)=c−1=3 である。( これは例題問題(留数の求め方〜その1)からも確認できる )

よって、次が成り立つ。(※留数定理)

(2)の解答〜その2

参考(基本公式〜その1)より、