例題問題(∫sinx/x、フレネル積分)

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例題問題 ( ∫sinx/x )

次を示せ。

解答

f(z)=eiz/z とおく。( sinz/z ではない )

下図のような積分経路をとる。



( eiz/z は原点 0 を特異点としてもつので、これを避けるようにして積分経路をとることが重要 )

いま、f(z) は閉曲線とその内部で正則である。

よって、次が成り立つ。(※コーシーの積分定理)



いま、次が成り立つ。(※ジョルダンの補助定理)



また、



よって、



ここで、eiz/z=1/z+(eiz−1)/z と分ける。

とくに、1/z は eiz/z の特異部である。

いま、



( ただし、z∈Ran(C)は z が C 上にあることを意味する )

よって、



また、



よって、



以上により、

例題問題 ( フレネル積分 )

次を示せ。



ただし、次式を既知とする。

解答

f(z)=exp(iz) とおく。

下図のような積分経路を考える。



いま、f(z) は閉曲線とその内部で正則である。

よって、次が成り立つ。(※コーシーの積分定理)



いま、



また、0≦θ≦π/4 ならば sin2θ≧(4/π)θ である。(※下図)



よって、



また、次が成り立つ。(※定理で仮定した公式を使用する)



以上により、



よって、



上式の実部と虚部を比較すると、定理の式が得られる。