例題問題(陰関数の極値)

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参考

y=f(x) を関数とする。

F(x、y)=0 を f の陰関数表示とする。

F(x、y) は2回偏微分可能で、F≠0 であるとする。

このとき、次が成り立つことを示せ。

(1)の解答

合成関数の微分より、



(*1)より、



よって、

(2)の解答

(1)の両辺を x で微分すると、



(*2)、(*3)を代入すると、



よって、

補足

今回の結果は、以下の問題の解答に用いてよいとする。

参考 ( 陰関数の極値 )

F(x、y)=0 を陰関数とする。

(x、y)≠0 であるとする。

このとき、次の手順で y(x) の極値を求めることができる。

まず、f(x、y)=0 かつ f(x、y)=0 を満たす x と y を求める。

この (x、y)=(x、y) に対し、次が成り立つ。

(*1) fxx/f>0 → y=y は極大値

(*2) fxx/f<0 → y=y は極小値

既に示したように、dy/dx=−F/F である。

y の極値を考えるから、dy/dx=0 である。

よって、F=0 である。

つまり、F=0 かつ F=0 である。

よって、

例題問題

次の陰関数について、y’を求めよ。

(1) x/a+y/b=1 ( a>0、b>0 )

(2) x−3xy+y=0

(1)の解答

F(x、y)=x/a+y/b−1=0 とおく。

計算すると、

(2)の解答

F(x、y)=x−3xy+y=0 とおく。

計算すると、

例題問題

次の関数について、y’ と y’’ を求めよ。

(*) x+y=a

解答

F(x、y)=x+y−a=0 とおく。

計算すると、

例題問題

−3xy+y=3 によって定められる関数 y(x) の極値を求めよ。

解答

F(x、y)=x−3xy+y−3=0 とおく。

F=0、F=0 とおく。

いま、x−3xy+y−3=0 である。

また、x−y=0 である。

y を消去すると、x−2x−3=0 である。

式変形すると、(x+1)(x−3)=0 である。

よって、x=−1、3 である。

よって、(x、y)=(−1、1)、(31/3、91/3) である。

(x、y)=(−1、1) の場合、



(x、y)=(31/3、91/3) の場合、



よって、極大値は 91/3 ( x=31/3 ) であり、極小値は 1 ( x=−1 ) である。

例題問題

y(x) を xy+xy=−2 によって定められる陰関数とする。

このとき、y(x) の極値を求めよ。

解答

F(x、y)=xy+xy+2 とおく。

F=0、F=0 とおく。

いま、xy+xy+2=0 である。

また、2xy+y=0 である。

これを解くと、(x、y)=(−1、2) である。

いま、Fxx/F=4/3>0 である。

よって、極小値は 2 ( x=−1 ) である。