例題問題(一様連続)

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例題問題

(1) f(x)=1/x が [1、∞) で一様連続であることを示せ。

(2) f(x)=1/x が (0、1] で一様連続ではないことを示せ。

(1)の解答

、x∈[1、∞) とおく。

いま、x≧1、x≧1 である。

よって、|x|≧1 である。

よって、|f(x)−f(x)|=|1/x−1/x|=|x−x|/|x|≦|x−x|である。

ε>0 とおく。

δ=εとおく。

いま、|x−x|<δ ならば|f(x)−f(x)|≦δ<εである。

よって、f(x) は [1、∞) で一様連続である。

(2)の解答

=1/n、x=1/(n+1) とおく。

いま、



よって、(*)が示された。

つまり、f(x) は (0、1] で一様連続ではない。

例題問題

sinx が で一様連続であることを示せ。

解答

加法定理より、

(*1) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

(*2) sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

よって、sin(α+β)−sin(α−β)=2cosαsinβ≦2sinβである。

よって、



ε>0 とおく。

δ=εとおく。

いま、|x−x|<δ ⇒|sinx−sinx|<εである。

つまり、sinx は で一様連続である。

例題問題

次が成り立つことを示せ。

(1) x≧0 ならば 0≦1−e−x≦x である。

(2) e−|x| で一様連続である。

(1)の解答

f(x)=e−x とおく。

x≧0 とする。

いま、ある 0<c<x が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)



つまり、e−x−1=−xe−c である。

よって、1−e−x=xe−c≦x である。

(2)の解答

(1)より、x≧0 ならば 0≦1−e−x≦x である。(★1)

0≦x<x の場合について考える。

(★1)より、|e−|x−e−|x|=e−x(1−e−(x−x)≦x−x である。(★2)

<x≦0 の場合について考える。

(★1)より、|e−|x−e−|x|=e(1−e−(x−x)≦x−x である。(★3)

≦0≦x の場合について考える。

(★1)より、| e−|x−e−|x |≦ | e−|x−1 | + | 1−e−|x | ≦|x|+|x|=x−x である。(★4)

(★2)〜(★4)より、x<x ならば|e−|x−e−|x|≦x−x である。(★5)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ε>0 とおく。

δ=ε/2 とおく。

|x−x|<δとする。

0≦x<x または x<x≦0 の場合について考える。

いま、|e−|x−e−|x|≦x−x<δ<εである。

≦0≦x の場合について考える。

いま、|x|<δ、x<δである。

よって、|e−|x−e−|x|≦x−x=x+|x|<2δ=εである。

例題問題

では一様連続でない。

このことを証明せよ。

解答

ε>0 とおく。

0≦x<x とおく。

0≦x−x<εであるとする。

いま、ε>x−x=(x+x)(x−x)>2x(x−x)である。

よって、0<x−x<ε(2x−1 である。

一方、lim→∞ε(2x−1=0 である。

よって、「 0≦x−x<δ ならば 0≦x−x<ε 」 を満たすδは存在しない。

補足

最後の結論は少し難しいかもしれないので補足する。

上の証明では、最初に 0≦x−x<εを仮定した。

ここから、x−x の値の範囲を考えたのである。

むろん、x−x の値の範囲は、x ( と x ) によって変化する。

具体的には x−x<ε(2x−1 が分かった。

つまり、x ( と x ) を大きくすると、x−x はいくらでも 0 に近づく。

だから、ある δ>0 をとって 「 |x−x|<δ⇒0≦x−x<ε 」 とはできない。

仮に、ある範囲でそれが実現できたとしても、 の正の方向へ進むと、成り立たない場合が出てくる。

むろん、ここでδを小さく取り直すことはできる。

しかし、さらに の正の方向へ進むと成り立たなくなる。

例題問題

sinx は で一様連続である。

これを示せ。

解答

よく知られているように、cos2x=1−2sinx である。

よって、sinx=(1−cos2x)/2 である。

よって、



よって、sinx は一様連続である。

例題問題

sin(x) は で一様連続ではない。

これを示せ。

解答

f(x)=sin(x) とおく。

=(2nπ)1/2、x’=(2nπ+π/2)1/2 とおく。

いま、f(x)=0、f(x’)=1 である。

また、limn→∞(x’−x)=0 である。

よって、「 任意の n に対して 0≦x’−x<δ⇒|f(x’)−f(x)|<ε 」 を満たす δ>0 は存在しない。