例題問題(一様収束)

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例題問題

次の関数を考える。

解答

1≦x<∞ とおく。

いま、



そこで、f(x)=1/x とおく。

( つまり、f [0、∞) で f に各点収束する )

いま、



ここで、1/(1+N)<εとおく。( この N は x に依存していない )

いま、



つまり、f は [0、∞) で一様収束する。

例題問題

次の関数を考える。



このとき、f(x) は (0、∞) で一様収束しない。

このことを示せ。

解答

0<x<∞ とおく。

いま、limn→∞(x)=0 である。

そこで、f(x)=0 ( 0<x<∞ ) とおく。

( つまり、f は (0、∞) で f に各点収束する )

いま、



x=π/2n とおくと、



0<ε<2/π とおく。

いま、任意の n に対し、x=π/2n に対し、|f(x)−f(x)|=2/π>εである。

つまり、f は一様収束ではない。

例題問題

次の関数を考える。



このとき、f(x) は f(x)=x に [0、1] 上で一様収束する。

このことを示せ。

解答

ε>0 とおく。

よく知られているように、siny=y+o(|y|) である。

よって、ある δ>0 が存在して、|y|<δ ⇒|siny−y|≦ε|y| となる。

N>1/δ とおく。

n≧N とする。

いま、任意の x∈[0、1] に対して|sin(x/n)−x/n|≦ε|x/n|≦ε/n である。

つまり、任意の x∈[0、1] に対して|f(x)−x|≦ε である。