例題問題(ジョルダン標準形)

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参考

A を n 次行列とする。

A は重複を含めて n 個の固有値をもつとする。

λ を A の固有値の1つとする。

m を λ の重複度とする。

=n−rank(A−λI) ( k は自然数 ) とおく。

この計算を繰り返すと、ある番号 N が存在して、nN−1<n=m となる。

ここで、d=n、d=n−nk−1 ( 2≦k≦N ) とおく。

さらに、b=d、b=d−dk+1 ( 1≦k≦N−1 ) とおく。

すると、次が得られる。



上記の直和を各固有値λに対して考える。

それらの直和行列 A のジョルダン標準形となる。

ただし、J(λ、*) はジョルダン・ブロックを意味している。

例えば、



また、ジョルダン・ブロックの直和は次の意味である。

例題問題

次の行列 A を考える。



(1) A のジョルダン標準形を書け。

(2) P−1AP が A のジョルダン標準形となるような正則行列 P を求めよ。

(1)の証明

いま、det(A−λI)=(1−λ) である。

よって、A は固有値 1 をもつ。

また、固有値 1 の代数的重複度は 3 である。

また、rank(A−I)=1 である。

よって、d=n=3−rank(A−I)=2 である。

一方、d+d≦3 である。

よって、d=1 である。

よって、b=1、b=1 である。

よって、A のジョルダン標準形は、

(2)の証明

いま、det(A−λI)=(1−λ) である。

よって、A の固有値は 1 のみである。

また、固有値 1 の代数的重複度は 3 である。

(A−I)x≠0 とおく。

いま、例えば、x=(0、0、1) を採用できる。

また、(A−I)x=(1、1、0) である。

(A−I)y=0 とおく。

y は (1、1、0) と1次独立であるとする。

例えば、y=(1、0、0) を採用できる。

(1、1、0)、(0、0、1)、(1、0、0) を並べて P とする。

つまり、



いま、