例題問題(完全微分方程式、積分因子)

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参考 ( 完全微分方程式 )

y’=−P(x、y)/Q(x、y) を微分方程式とする。

これを P(x、y)dx+Q(x、y)dy=0 と表してよいとする。(★1)

上式において x と y は対等であるから、どちらを独立変数と見なしてもよい。

いま、ある C 級関数 φ(x、y) が存在して、次を満たすとする。(★2)



( ∂φ(x、y)/∂x を、φ または ∂φ と表すことも多い )

このとき、(★1)を 『 完全微分方程式 』 という。

あるいは、「 (★1)は完全である 」 という。

(★2)では、φ(x、y) に C 級を仮定した。

級とは、偏導関数が連続となる関数である。

つまり、φ(x、y)は、x や y について偏微分可能であり、φ と φ は連続である。

これは重要なことであるが、難しく感じる人は気にしなくてよい。

また、この辺りの議論は初級者向けの参考書では省かれることが多い。

完全微分方程式は、変数分離形や1階線形の一般化である。

実際、変数分離形と1階線形は次の形で表せる。

(*1) 変数分離形 : X(x)Y(y)dx−dy=0

(*2) 1階線形 : (P(x)y−Q(x))dx+dy=0

参考 ( 完全微分方程式の一般解〜その1 )

P(x、y)dx+Q(x、y)dy=0 を完全微分方程式とする。(★)

つまり、ある C 級関数 φ(x、y) が存在して、P(x、y)=φ、Q(x、y)=φ である。

このとき、(★)の一般解は φ(x、y)=C である。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1 ( 偏微分による証明 )

φ(x、y)を x で偏微分すると、φ(x、y)+φ(x、y)y’=P(x、y)+Q(x、y)y’=0 である。

よって、φ(x、y)=C は (★) の一般解である。

証明〜その2 ( 全微分による証明 )

φ(x、y)の全微分は dφ=φdx+φdy である。

よって、dφ=0 である。

よって、φ(x、y)=C である。

補足

「 証明〜その1 」 では合成関数の微分公式を用いた。

この定理では φの C 級が仮定されている。

「 証明〜その2 」 では全微分を用いた。

よく知られているように、「 C級⇒全微分 」 である。

つまり、φが全微分であることはφの C 級によって保障されている。

つまり、いずれの証明においてもφの C 級が必要である。

参考 ( 完全微分方程式の同値条件 )

P(x、y)dx+Q(x、y)dy=0 を微分方程式とする。(★)

このとき、次は同値である。

(1) (★)は完全である。

(2) P=Q

補足

むろん、(2)を次のように表しても意味は同じである。

(*) ∂P(x、y)/∂y=∂Q(x、y)/∂x

補足

上の定理には明記しなかったが、上の定理では P と Q に C 級を仮定する。

このような仮定を必要とする理由については後で述べる。

証明

(1)を仮定する。

いま、



これで(2)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、φ=P である。

よって、



ここで、次のようにおく。



すると、(*2)と(*3)より、φ=Q である。

ただし、(*3)が x に依存しないことを確認する必要がある。

いま、



つまり、(*3)の右辺は x に依存しない y のみの関数である。

補足

証明の(*1)ではφの偏微分の順序を交換した。

よく知られているように、φが C 級ならば、φxy=φyx である。

φが C 級であることは、P と Q の C 級によって保障される。

参考 ( 完全微分方程式の一般解〜その2 )

P(x、y)dx+Q(x、y)dy=0 を完全微分方程式とする。

その一般解は次のように表される。

補足

既に述べたように、x と y は対等である。

よって、一般解を次のように表しても意味は同じである。

証明

参考(完全微分方程式の同値条件)の証明で書いたように、



ここで、g’(y)を y で積分すると、



一方、φ(x、y)=C である。(※参考:完全微分方程式の一般解〜その1)

以上により、

参考 ( 積分因子 )

P(x、y)dx+Q(x、y)dy=0 を(完全でない)微分方程式とする。

ある関数 λ(x、y) が存在して、λ(x、y)P(x、y)+λ(x、y)Q(x、y)=0 は完全となるとする。

このとき、λ(x、y) を 『 積分因子 』 という。

つまり、完全でない微分方程式でも、積分因子を見つければ完全形に帰着できる。

しかし、積分因子を見つけることは困難である場合が多い。

ただし、特定の場合には簡単に見つけることができる。

以下、それを説明する。

参考 ( 積分因子の発見法 )

P(x、y)dx+Q(x、y)dy=0 を微分方程式とする。

(P−Q)/Q が x のみの関数である場合、積分因子として次を採用できる。



(Q−P)/P が y のみの関数である場合、積分因子として次を採用できる。

いま、次は同値である。(※参考:完全微分方程式の同値条件)

(*1) λ(x、y)は積分因子である。

(*2) ∂(λP)/∂y=∂(λQ)/∂x

(*3) λP+λP=λQ+λQ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、λ=λ(x)と仮定する。

いま、(*3)より、λP=λQ+λQ である。

つまり、λ/λ=(P−Q)/Q である。

いま、上式の両辺は x のみの関数である。

そして、両辺を x で積分すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、λ=λ(y)と仮定する。

いま、(*3)より、λP+λP=λQ である。

つまり、λ/λ=(Q−P)/P である。

いま、上式の両辺は y のみの関数である。

そして、両辺を y で積分すると、

例題問題

次を解け。

(1) (y−ecosy)+(x+esiny)y’=0

(2) (2x−y+1)dx−(x−2y+1)dy=0

(3) ydx−xdy=0

(1)の証明

いま、(y−ecosy)dx+(x+esiny)dy=0 である。

P(x、y)=y−ecosy とおく。

Q(x、y)=x+esiny とおく。

いま、P=Q である。

よって、完全形である。

φ(x、y)=∫Pdx+g(y)とおく。

いま、φ(x、y)=xy−ecosy+g(y)である。

いま、∂φ/∂y=x+esiny+g’(y)=Q=x+esiny である。

よって、g’(y)=0 である。

よって、g(y)=C である。

よって、一般解は、xy−ecosy+C=C である。

つまり、xy−ecosy=C である。

(2)の証明

P(x、y)=2x−y+1 とおく。

Q(x、y)=−(x−2y+1)とおく。

いま、P=Q である。

よって、完全形である。

以下、前問と同様に解いてもよいが、ここでは全微分を用いてみよう。

また、0=(2x+1)dx+(2y−1)dy−(ydx+xdy)=d(x+x+y−y)−d(xy)である。

よって、一般解は、x+x+y−y−xy=C である。

(3)の証明

P(x、y)=y とおく。

Q(x、y)=−x とおく。

よって、(P−Q)/Q=−2/x である。( つまり、これは x のみの関数である )

よって、積分因子は、λ(x)=exp(∫(−2/x)dx)=exp(−logx)=1/x である。

よって、(ydx−xdy)/x=0 である。

つまり、d(y/x)=0 である。

よって、y/x=C である。