例題問題(広義重積分)

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参考 ( 広義重積分 )

D を領域とする。( 閉領域でなくてよいし、有界でなくてよい )

f(x、y) は D の境界で非有界であるとする。

このような関数に対し、重積分を定義したい。

例えば、次のようなものを定義したい。



通常の重積分は閉領域上でのみ定義されていることに注意。

つまり、現時点では上記の積分は定義されていない。

そこで、次のような有界閉領域の列 (D) を考える。

(1) D⊂D⊂・・・

(2) D∪D∪・・・=D

(3) D に含まれる任意の有界閉領域 D に対し、ある D が存在して D⊂D となる。

このとき、(D) を 『 D の近似増加列 』 という。(★1)

『 任意 』 の近似増加列 (D) に対し、次の極限が同一の値に収束するとする。(★2)



このとき、「 f(x、y) は D で積分可能である 」 という。

また、その極限を次のように表す。



これを 『 f(x、y) の D における広義積分 』 という。

(★1)の補足

例えば、D={ (x、y)|0≦x≦1、0≦y≦1、(x、y)≠(0、0) } の近似増加列として、次がある。

(★2)の補足

「 任意の近似増加列 」 と書かれていることに注意。

すると、大変な作業であるように思えるかもしれない。

しかし、実は、次の定理がある。

参考 ( 定符合関数の広義重積分 )

D を領域とする。

f(x、y) は D 上でつねに f(x、y)≧0 ( または f(x、y)≦0 ) であるとする。

ある近似増加列 (D) に対し、次の極限が存在するとする。



このとき、f(x、y) は D で積分可能であり、次が成り立つ。

証明

f(x、y)≧0 とする。

(A)、(B) を D の2つの近似増加列とする。

=∬Anf(x、y)dxdy、b=∬Bnf(x、y)dxdy とおく。

の極限をαとし、b の極限をβとする。

いま、a≦a≦・・・≦α である。

また、b≦b≦・・・≦β である。

いま、各 A に対し、ある B が存在して、A⊂B となる。

よって、a=∬Anf(x、y)dxdy≦∬Bmf(x、y)dxdy=b≦β である。

よって、α≦βである。

(A) と (B) の役割を入れ替えて同様に議論すると、β≦α である。

よって、α=β である。

例題問題

次の広義積分を計算せよ。

解答

下図のような閉領域 D を考える。



いま、(D) は D の近似増加列である。

また、



よって、

例題問題

次が成り立つことを示せ。

補足

この式によって統計学でよく知られている次の関係が得られる。

解答

まず、次を示す。



={ (x、y)|x≧0、y≧0、x+y≦n } とおく。

x=rcosθ、y=rsinθ とおく。

={ (r、θ)|0≦r≦n、0≦θ≦π/2 } とおく。

いま、『 D の内部 』 と 『 E の内部 』 の各点は1対1で対応する。

よって、次のように計算できる。(※極座標変換)



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

={ f(x、y)|0≦x≦n、0≦y≦n } とおく。

いま、(F) は D の近似増加列である。

また、



上式の両辺について n→∞ とすると、



よって、上の結果より、