例題問題(1変数関数の連続性・微分可能性)

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定義 ( 曲面 )

φ:D→ を連続写像とする。( D は の領域とする )

このとき、φを 『 曲面 』 という。

S=φ(D)を曲面と呼ぶこともある。

定義 ( パラメータ付き曲面 )

φ:D→ を写像とする。

任意の x=(u、v)∈D に対し、φ(x) と φ(x) が1次独立であるとする。

このとき、φを 『 パラメータ付き曲面 』 という。

ただし、∂φ は∂φ/∂u の略記である。

定義 ( 正則曲面 )

φ:D→ をパラメータ付き曲面とする。

φは単射であるとする。

このとき、φを 『 正則曲面 』 という。

単射であることは、自己交叉しない(自分自身と交わらない)ことを意味する。

これは曲面の定義として妥当であろう。

注意

以下、とくに断りがない限り、曲面は 『 正則曲面 』 を意味するとする。

『 パラメータ付き曲面 』 と 『 正則曲面 』 を神経質に呼び分ける必要はない。

定義 ( グラフ曲面 )

φ:D→ を曲面とする。

φ(x、y)=(x、y、g(x、y)) の形で表されるとする。

このとき、φを 『 グラフ曲面 』 という。

定義 ( レベル曲面 )

φ(x、y、z)=C ( 定数 ) の形で表される曲面を 『 レベル曲面 』 という。

レベル曲面を 『 等位曲面 』 と呼ぶこともある。

P1 ( レベル曲面の勾配は、法ベクトル場である )

f(x、y、z)=C をレベル曲面とする。

このとき、∇f は、この曲面の法ベクトル場である。

補足

つまり、∇f/|∇f|は曲面の単位法ベクトル場である。

証明

いま、レベル曲面上の曲線は f(t)=f(x(t)、y(t)、z(t))=C と表される。

t で微分すると、



つまり、∇f・(dx/dt、dy/dt、dz/dt)=0 である。

つまり、∇f・Γ’(t)=0 である。

つまり、∇f は、曲面上の任意の曲線Γに対して直交する。

つまり、∇f は、曲面の方ベクトル場である。

参考

S : x+y+z=1 を曲面とする。

F=x+y+z−1=0 とおく。

いま、F はレベル曲面である。

よって、∇F=(∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z)=(2x、2y、2z)は法ベクトル場である。

よって、n=∇F/|∇F|=(x、y、z) である。

たしかに、n は S の単位法ベクトル場である。

定義 ( 曲面積 )

φ:D→ を曲面とする。

いま、|∂φ/∂u×∂φ/∂v|は曲面上の微小な平行四辺形の面積と見なせる。

そこで、次のように定義する。



このとき、A[φ](D)を 『 曲面の面積 』 という。

ただし、この定義は天下り的である。

実際、この定義が本当に 「 よく知られている面積 」 と一致するか否かが示されていない。

しかし、その厳密な議論についてはここでは省略する。

P2

φ:D→ を φ(u、v)=(u、v、1) で定める。

このとき、A[φ](D)=「 領域 D の面積 」 である。

証明

いま、明らかに、|∂φ/∂u×∂φ/∂v|=1 えある。

よって、A[φ](D)=∬1dudv=「 領域 D の面積 」 である。

P3 ( グラフ曲面の曲面積 )

φ:D→ を曲面とする。

φ(x、y)=(x、y、g(x、y)) の形で表されるとする。( つまり、φはグラフ曲面である )

このとき、次が成り立つ。

証明

いま、∂φ/∂x=(1、0、g) である。

また、∂φ/∂y=(0、1、g) である。

よって、∂φ/∂x×∂φ/∂y=(−g、−g、1) である。

よって、|∂φ/∂x×∂φ/∂y|=√(g+g+1) である。

定義 ( スカラー場の面積分 )

φ:D→ を曲面とする。

S=φ(D) とおく。

f:S→ をスカラー場とする。

次のように定義する。



上式を次のように表しても意味は同じである。

f(x、y、z)=1 とすると、これは定義(曲面積)に一致する。

つまり、定義(スカラー場の面積分)は、定義(曲面積)の一般化である。

定義 ( ベクトル場の面積分 )

φ:D→ を曲面とする。

S=φ(D) とおく。

n を S の単位法ベクトル場とする。

f(x、y、z)=(f(x、y、z)、f(x、y、z)、f(x、y、z)) をベクトル場とする。

次のように定義する。

(1)の右辺は、定義(スカラー場の面積分)に基づいている。

実際、f、f、f はスカラー場である。

(2)の右辺は、定義(スカラー場の面積分)に基づいている。

実際、f・n はスカラー場である。

(3)の右辺は、(1)に基づいている。

実際、f×n はベクトル場である。

例題問題

S : 2x+y+z=2 ( x≧0、y≧0、z≧0 ) を曲面とする。

f(x、y、z)=x+z をスカラー場とする。

このとき、次を求めよ。

解答

g:D→ を g(x、y)=−2x−y+2 で定める。

ただし、D={(x、y)|x、y≧0、2x+y≦2 } である。

いま、曲面 S は (x、y、g(x、y)) で記述される。

よって、定義(スカラー場の面積分)、P3 より、

例題問題

S : 2x+2y−z=2 ( x≧0、y≧0、z≦0 ) を曲面とする。

f(x、y、z)=(x、2y、z) をベクトル場とする。

このとき、次を求めよ。

解答

F(x、y、z)=2x+2y−z−2=0 とおく。

いま、F はレベル曲面である。

よって、∇F=(∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z)=(2、2、−1) は法ベクトル場である。(※P1)

よって、単位法ベクトル場 n は、



よって、



よって、定義(ベクトル場の面積分)、P3 より、

例題問題

S : x+y+z=1 ( x≧0、y≧0、z≧0 ) を曲面とする。

f(x、y、z)=(0、0、z) をスカラー場とする。

このとき、次を求めよ。

解答

F(x、y、z)=x+y+z−1=0 とおく。

いま、F はレベル曲面である。

よって、∇F=(∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z)=(1、1、1) は法ベクトル場である。

よって、単位法ベクトル場は、



よって、



よって、定義(ベクトル場の面積分)、P3 より、