例題問題(オイラー微分方程式)

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参考 ( オイラー微分方程式は2階線形微分方程式に帰着できる )

y’’+pxy’+qy=R(x) を 『 オイラー微分方程式 』 という。(★)

ただし、p と q は定数である。

これは2階線形微分方程式に帰着できる。

証明

x>0 の場合について考える。

u=logx とおく。( x<0 の場合は t=log(−x)とおく )

つまり、x=e ( x<0 の場合は x=−e である )

いま、du/dx=1/x=e−u である。

また、





これを(★)に代入して整理すると、



これは2階線形微分方程式である。

例題問題

y’’−4xy’+6y=−x ( x>0 ) を解け。

解答

y’’−4xy’+6y=0 を、問題の微分方程式に付く斉次式とする。(★1)

これはオイラー微分方程式 p=−4、q=6、R(x)=0 の場合である。

よって、t=logx ( つまり x=e ) とおくと、y’’−5y+6y=0 である。(★2)

その特性方程式は λ−5λ+6 であり、λ=2、3 である。

よって、(★2)の一般解は、y=c2t+c3t である。

つまり、(★1)の一般解は、y=c+c である。

問題の微分方程式の一般解を y=A(x)x+B(x)x とおく。(定数変化法)

A’x+B’x=0 とおく。(★3)

いま、y’=2Ax+3Bx である。

また、y’’=2A+2A’x+6Bx+3B’x である。

これを問題の微分方程式に代入して整理する。

すると、2A’+3B’x=−1/x である。(★4)

(★3)、(★4)より、A’=1/x、B’=−1/x である。

よって、A(x)=logx+C、B(x)=1/x+C である。

よって、一般解は、y=(logx+C)x+(1/x+C)x=C+C+(logx+1)x である。