例題問題(量子力学)

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例題問題

光速1%の速度をもつ電子に伴うド・ブロイ波長を求めよ。

計算には次の値を用いてよい。

解答

計算すると、

例題問題

次の関係を考える。



(1) ψ(x)を規格化し、定数 C を求めよ。

(2) 位置 x の標準偏差 Δx を求めよ。

(3) 運動量 p の標準偏差 Δp を求めよ。

(4) Δx・Δp を求めよ。

計算には次の公式を用いてよい。

補足

上記の積分を 『 ガウス積分 』 という。

(1)の解答

規格化条件は、



上式左辺を計算すると、



よって、

(2)の解答

計算すると、



上式において最後の結論は被積分関数が奇関数であることに起因する。

実際、x は奇関数であり、exp(−2x)は偶関数なので、xexp(−2x)は奇関数である。

一方、



よって、

(3)の解答

計算すると、





(4)の解答

(2)と(3)より、

例題問題

次の波動関数を考える。



(1) ψ(x)を規格化し、定数 C を求めよ。

(2) 粒子が x≦x≦x の範囲に見出される確率を求めよ。( 0≦x≦x であるとする )

(1)の解答

規格化条件は、



上式左辺を計算すると、



よって、

(2)の解答

計算すると、

例題問題

次の波動関数を考える。



(1) ψ(x、t)を規格化し、定数 C を求めよ。

(2) 位置 x の期待値 〈x〉 を求めよ。

(1)の解答

規格化条件は、



上式左辺を計算すると、



よって、C=√a である。

(2)の解答

計算すると、



最後の計算は被積分関数が奇関数であることによる。

実際、x は奇関数であり、exp(−2a|x|)は偶関数なので、xexp(−2a|x|)は奇関数である。

P1 ( 無限井戸型ポテンシャル )

次のようなポテンシャルを考える。



このとき、波動関数 ψ とエネルギー E は、



補足

むろん、

(1)と(2)の証明

いま、0≦x≦a において V=0 である。

よって、0≦x≦a においてシュレディンガー方程式は、



上式の固有関数として ψ(x)=Acoskx+Bsinkx を採用できる。(★1)

実際、



(*1)と(*2)より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、x=0 と x=a において V=∞ である。

よって、この位置で粒子の存在確率は 0 であるとしてよい。

つまり、境界条件は ψ(0)=ψ(a)=0 である。(★2)

(★1)と(★2)より、ψ(0)=A=0、ψ(a)=Bsinka=0 である。

よって、ka=nπ ( n=1、2、・・・ ) である。

つまり、



つまり、



また、規格化の条件は、



つまり、



積分を計算すると、



よって、



つまり、

例題問題

次のポテンシャルに閉じ込められた粒子 ( 質量 m ) を考える。



その固有関数とエネルギー固有値は次式で表される。



以上のことに注意して、以下の設問に答えよ。

(1) この粒子の基底状態と第一励起状態のエネルギー差を求めよ。

(2) 基底状態の場合について粒子の位置 x の期待値を求めよ。

(2) 基底状態の場合について粒子の運動量 p の期待値を求めよ。

ただし、次の公式を用いてよい。

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、

(3)の解答

計算すると、

例題問題

水素原子1s軌道の角度成分は、



水素原子1s軌道の動径成分は、



(1) 水素原子1s軌道で電子の存在確率が最大になる位置を求めよ。

(2) 水素原子1s軌道で電子の原子核からの距離 r の期待値を求めよ。

補足

波動関数ψ(r、θ、φ)に対して|ψ(r、θ、φ)|=|Rn、l(r)||Y(θ、φ)| である。

また、三次元極座標における微小体積は rsinθdrdθdφである。

これは次のように理解できる。



また、Y(θ、φ)は規格化されている。

つまり、



P(r)を 1s 軌道の動径分布関数とする。

つまり、P(r)は核から距離 r 位置に電子が存在する確率である。

つまり、

(1)の解答

いま、



存在確率が最大となる点で dP(r)/dr=0 である。

つまり、



よって、r=a である。( つまりボーア半径 a で最大となる )

(2)の解答

一般に、



よって、

例題問題

3次元直交座標において 0≦x≦a、0≦y≦b、0≦z≦c でポテンシャルは V(x)=0 であるとする。

それ以外で V(x)=∞ であるとする。

このような箱型ポテンシャルに粒子 ( 質量 m ) が閉じ込められているとする。

このとき、シュレディンガー方程式の固有値は次のように表される。



(1) a=b=c の場合について縮重している状態(n、n、n)を挙げよ。

(2) a=2b、b=c の場合について縮重している状態(n、n、n)を挙げよ。

(1)の解答

例えば、

(3、1、1)、(1、3、1)、(1、1、3)

(2、2、1)、(2、1、2)、(1、2、2)

(2、1、1)、(1、2、1)、(1、1、2)

(2)の解答

例えば、

(1、3、1)、(1、1、3)

(5、1、1)、(1、2、2)

(4、1、1)、(2、2、1)、(2、1、2)

(1、2、1)、(1、1、2)